طريقة التكرار البسيطة ، وتسمى أيضًا الطريقةالتقريب التسلسلي هو خوارزمية رياضية لإيجاد قيمة كمية غير معروفة من خلال تنقيتها تدريجياً. جوهر هذه الطريقة هو أنه ، كما يوحي الاسم ، بالتعبير تدريجياً عن تلك اللاحقة من التقريب الأولي ، فإنهم يحصلون على نتائج أكثر دقة. تُستخدم هذه الطريقة للعثور على قيمة متغير في دالة معينة ، وكذلك عند حل أنظمة المعادلات الخطية وغير الخطية.
ضع في اعتبارك كيفية تنفيذ هذه الطريقة عند حل SLAE. تحتوي طريقة التكرار البسيطة على الخوارزمية التالية:
1.التحقق من شرط التقارب في المصفوفة الأصلية. نظرية التقارب: إذا كانت المصفوفة الأصلية للنظام لها انتشار قطري (أي ، في كل صف يجب أن تكون عناصر القطر الرئيسي أكبر في القيمة المطلقة من مجموع عناصر الأقطار الجانبية في القيمة المطلقة) ، فإن طريقة التكرار البسيطة تكون متقاربة.
2.لا تحتوي مصفوفة النظام الأصلي دائمًا على انتشار قطري. في مثل هذه الحالات ، يمكن تحويل النظام. تُترك المعادلات التي تفي بشرط التقارب دون تغيير ، ومع عدم الرضا ، فهي تركيبات خطية ، أي اضرب ، اطرح ، أضف معادلات لبعضها البعض للحصول على النتيجة المرجوة.
إذا كان النظام الناتج يحتوي على معاملات غير ملائمة على القطر الرئيسي ، فسيتم إضافة شروط النموذج مع كلا جانبي هذه المعادلةو* قو يجب أن تتزامن علاماتها مع علامات العناصر القطرية.
3. تحويل النظام الناتج إلى العرض العادي:
مع-= β-+ α * x-
يمكن القيام بذلك بعدة طرق ، على سبيل المثال ، على النحو التالي: من المعادلة الأولى ص1 من خلال مجهولين آخرين ، من الثانية2، من الثالث3 الخ. في هذه الحالة ، نستخدم الصيغ:
αلها= - (ألها / أ2)
و= بو/ أو
يجب عليك مرة أخرى التأكد من أن النظام الناتج من الشكل العادي يفي بشرط التقارب:
∑ (ي = 1) | αلها| ≤ 1 ، بينما i = 1،2 ، ... n
4. نبدأ ، في الواقع ، بتطبيق الطريقة التقريبية المتتالية.
مع(0)هو التقريب الأولي ، نعبر من خلاله x(1)، ثم من خلال س(1) صريح س(2)... تبدو الصيغة العامة في شكل مصفوفة كما يلي:
مع(ن)= β-+ α * x(ن -1)
نحسب حتى نصل إلى الدقة المطلوبة:
ماكس | xو(ك) -xو(ك +1) ≤ ε
لذا ، دعنا نضع طريقة التكرار البسيطة موضع التنفيذ. مثال:
حل SLAE:
4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 بدقة ε = 10-3
دعونا نرى ما إذا كانت العناصر القطرية تسود في المعامل.
نرى أن المعادلة الثالثة فقط تفي بشرط التقارب. نقوم بتحويل الأول والثاني ، نضيف الثاني إلى المعادلة الأولى:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
اطرح الأول من الثالث:
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
لقد قمنا بتحويل النظام الأصلي إلى نظام مكافئ:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8 × 1 + 2.5 × 2 + 4.7 × 3 = 4
الآن دعنا نعيد النظام إلى طبيعته:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
س 2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
التحقق من تقارب العملية التكرارية:
0.0789 + 0.3158 = 0.3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1 ، أي تم استيفاء الشرط.
0,3947
تقريب أولي x(0) = 0.4762
0,8511
باستبدال هذه القيم في معادلة الشكل العادي ، نحصل على القيم التالية:
0,08835
مع(1)= 0.486793
0,446639
باستبدال القيم الجديدة ، نحصل على:
0,215243
مع(2)= 0.405396
0,558336
نواصل الحسابات حتى نقترب من القيم التي تفي بشرط معين.
0,18813
مع(7)= 0.441091
0,544319
0,188002
مع(8) = 0.44164
0,544428
دعونا نتحقق من صحة النتائج التي تم الحصول عليها:
4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977
النتائج التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال القيم الموجودة في المعادلات الأصلية تفي تمامًا بشروط المعادلة.
كما نرى ، فإن طريقة التكرار البسيطة تعطي نتائج دقيقة تمامًا ، ولكن لحل هذه المعادلة كان علينا قضاء الكثير من الوقت وإجراء حسابات مرهقة.
