Enkel iterationsmetode, også kaldet metodesuccessiv tilnærmelse er en matematisk algoritme til at finde værdien af en ukendt mængde ved gradvis at foredle den. Essensen af denne metode er, at som navnet antyder gradvist at udtrykke de efterfølgende fra den indledende tilnærmelse, opnås flere og mere raffinerede resultater. Denne metode bruges til at finde værdien af en variabel i en given funktion såvel som ved løsning af ligningssystemer, både lineære og ikke-lineære.
Lad os overveje, hvordan denne metode implementeres, når SLAE'er løses. Den enkle iterationsmetode har følgende algoritme:
1.Verifikation af opfyldelsen af konvergensbetingelsen i den originale matrix. Konvergenssætning: Hvis systemets indledende matrix har en diagonal dominans (dvs. i hver række skal elementerne i hoveddiagonalen være større i modul end summen af elementerne i de sekundære diagonaler modulo), så er metoden til enkle iterationer konvergent.
2.Matrixen i det originale system har ikke altid en diagonal dominans. I sådanne tilfælde kan systemet konverteres. Ligninger, der tilfredsstiller konvergensbetingelsen, forbliver intakte, og med dem, der ikke tilfredsstiller, danner de lineære kombinationer, dvs. gang, træk, tilføj ligningerne sammen, indtil det ønskede resultat opnås.
Hvis der er ubelejlige koefficienter i det resulterende system på hoveddiagonalen, så er formularens vilkår medog* xjeg, hvis tegn skal falde sammen med tegnene på de diagonale elementer.
3. Konvertering af det resulterende system til dets normale form:
med-= β-+ α * x-
Dette kan gøres på mange måder, for eksempel sådan: fra den første ligning, udtryk x1 gennem andre ukendte, fra det andet - x2, fra det tredje - x3 etc. I dette tilfælde bruger vi formlerne:
αij= - (aij / aii)
og= bog/ aii
Det skal bekræftes igen, at det resulterende system med normal form opfylder konvergensbetingelsen:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, mens i = 1,2, ... n
4. Vi begynder faktisk at anvende selve metoden til successive tilnærmelser.
med(0)- indledende tilnærmelse, vi udtrykker igennem det x(1), derefter gennem x(1) udtrykk x(2)... Den generelle formel i matrixform ser sådan ud:
med(n)= β-+ α * x(n-1)
Vi beregner, indtil vi når den krævede nøjagtighed:
maks. | xog(k) -xog(k + 1) ≤ ε
Så lad os omsætte den enkle iterationsmetode til praksis. Eksempel:
Løs SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 med præcision ε = 10-3
Lad os se, om de diagonale elementer hersker i modul.
Vi ser, at kun den tredje ligning opfylder konvergensbetingelsen. Vi transformerer det første og det andet, tilføjer det andet til den første ligning:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
Træk den første fra den tredje:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Vi har konverteret det originale system til et tilsvarende system:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Lad os nu bringe systemet tilbage til det normale:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Kontrol af konvergensen af den iterative proces:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs. betingelsen er opfyldt.
0,3947
Indledende tilnærmelse x(0) = 0,4762
0,8511
Ved at erstatte disse værdier i ligningen med normal form får vi følgende værdier:
0,08835
med(1)= 0,486793
0,446639
Ved at erstatte nye værdier får vi:
0,215243
med(2)= 0,405396
0,558336
Vi fortsætter beregningerne, indtil vi kommer tættere på de værdier, der opfylder den givne betingelse.
0,18813
med(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
med(otte) = 0,44164
0,544428
Lad os kontrollere rigtigheden af de opnåede resultater:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2.0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Resultaterne opnået ved at erstatte de fundne værdier i de oprindelige ligninger opfylder fuldstændigt betingelserne i ligningen.
Som vi kan se, giver den enkle iterationsmetode forholdsvis nøjagtige resultater, men for at løse denne ligning var vi nødt til at bruge meget tid og lave besværlige beregninger.
