Takaisin kouluun kaikki opiskelijat tutustuvat konseptiin"Euklidinen geometria", jonka pääsäännökset ovat keskittyneet useiden aksioomien ympärille perustuen sellaisiin geometrisiin elementteihin kuin piste, taso, viiva, liike. Ne kaikki yhdessä muodostavat sen, mikä on jo kauan tiedossa termillä "euklidinen avaruus".
Euklidinen avaruus, jonka määritelmävektoreiden skalaarikertomiseen liittyvän lausunnon perusteella se on lineaarisen (affiinisen) tilan erityistapaus, joka täyttää joukon vaatimuksia. Ensinnäkin vektorien skalaarituote on ehdottomasti symmetrinen, ts. Koordinaatteilla varustettu vektori (x; y) on kvantitatiivisesti identtinen koordinaatteilla (y; x) olevan vektorin kanssa, mutta se on suuntaan vastakkainen.
Toiseksi, jos tuotetaanitsestään olevan vektorin skalaarituote, tämän toiminnan tulos on positiivinen. Ainoa poikkeus on tapaus, jossa tämän vektorin alkuperäinen ja lopullinen koordinaatti on yhtä suuri kuin nolla: tässä tapauksessa sen itsensä tulo on yhtä suuri kuin nolla.
Kolmanneksi, kyse on jakautumisestaskalaarituote, ts. mahdollisuus hajottaa yksi sen koordinaateista kahden arvon summaan, mikä ei sisällä muutoksia vektorien skalaarisen kertolaskutuloksen lopputuloksessa. Viimeiseksi, neljänneksi, kun vektorit kerrotaan samalla reaaliluvulla, myös niiden skalaarituote kasvaa samalla määrällä.
Jos kaikki nämä neljä ehtoa täyttyvät, voidaan sanoa varmasti, että meillä on euklidinen avaruus.
Euklidinen avaruus käytännön näkökulmasta voidaan karakterisoida seuraavilla erityisillä esimerkeillä:
Euklidisella avaruudella on useitaerityiset ominaisuudet. Ensinnäkin skalaarikerroin voidaan poistaa hakasuluista sekä skalaarituotteen ensimmäisestä että toisesta tekijästä, tämän tuloksena ei tapahdu muutoksia. Toiseksi, skalaarituotteen ensimmäisen elementin jakautumisen lisäksi myös toisen elementin jakautuvuus vaikuttaa. Lisäksi vektoreiden skalaarisumman lisäksi tapahtuu jakautuminen myös vektoreiden vähennysten tapauksessa. Lopuksi, kolmanneksi, vektorin skalaarisella kertolaskulla nolla, tulos on myös nolla.
Joten euklidinen avaruus ontärkein geometrinen käsite, jota käytetään ratkaisemaan vektoreiden keskinäisen järjestelyn ongelmat toisiinsa nähden, joiden karakterisointiin käytetään sellaista käsitettä skalaarituote.
