Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle et comment la calculer correctement?

Souvent dans la vie, nous sommes confrontés à ce qui est nécessaireévaluer les chances d'occurrence de tout événement. Vaut-il la peine d'acheter un billet de loterie ou pas, quel sera le sexe du troisième enfant de la famille, que demain soit ensoleillé ou qu'il pleuve à nouveau - les exemples sont innombrables. Dans le cas le plus simple, le nombre de résultats favorables doit être divisé par le nombre total d’événements. S'il y a 10 billets gagnants à la loterie et qu'il y en a 50 au total, les chances d'obtenir un prix sont de 10/50 = 0,2, soit 20 contre 100. Et que faire s'il y a plusieurs événements et qu'ils sont étroitement liés les uns aux autres? Dans ce cas, nous ne nous intéresserons pas à la probabilité simple, mais à la probabilité conditionnelle. Quelle est cette valeur et comment peut-elle être calculée - ceci sera décrit dans notre article.

Le concept de

La probabilité conditionnelle est la chance d'une offensiveun événement spécifique, à condition qu'un autre événement associé lui ait déjà eu lieu. Prenons un exemple simple de lancer une pièce de monnaie. S'il n'y a pas eu de tirage au sort, les chances d'avoir une queue ou une queue seront les mêmes. Mais si cinq fois de suite la pièce montait, acceptez de vous attendre aux 6ème, 7ème et encore plus à la 10ème répétition d'un tel résultat serait illogique. A chaque chute répétée de l'aigle, les chances de queues augmentent et tôt ou tard, elle tombera.

Formule de probabilité conditionnelle

Voyons maintenant comment cette valeurest calculé. Indiquez le premier événement par B, et le second par A. Si les chances pour que B soit offensif soient non nulles, l'égalité suivante sera vraie:

Р (А | В) = Ра (АВ) / Р (В), où:

• R (A | B) est la probabilité conditionnelle du total A;
• P (AB) - la probabilité d'occurrence conjointe des événements A et B;
• P (B) - la probabilité de l'événement B.

En transformant légèrement cette relation, nous obtenons P (AB) = P (A | B) * P (B). Et si nous appliquons la méthode d'induction, nous pouvons alors déduire la formule du produit et l'utiliser pour un nombre arbitraire d'événements:

R (A₁, Un₂, Un₃... et_n) = P (A₁| A₂... et_n) * P (A₂| A₃... et_n) * P (A₃| A₄... et_n) ... R (A_p-1| A_n) * P (A_n).

Pratique

Pour mieux comprendre commentla probabilité conditionnelle de l'événement étant calculée, considérons quelques exemples. Supposons qu'il y ait un vase dans lequel il y a 8 chocolats et 7 menthes. En taille, ils sont identiques et deux d’entre eux sont sortis au hasard. Quelles sont les chances pour que les deux deviennent du chocolat? Nous introduisons la notation. Soit le résultat A signifie que le premier bonbon est au chocolat, le résultat B est le deuxième bonbon. Ensuite, nous obtenons ce qui suit:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Considérons un autre cas. Supposons qu'il y ait une famille de deux enfants et que nous sachions qu'au moins un enfant est une fille.

Quelle est la probabilité conditionnelle que les garçons aientces parents ne sont-ils pas encore? Comme dans le cas précédent, commençons par la notation. Soit P (B) - la probabilité qu'il y ait au moins une fille dans la famille, P (A | B) - la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille, P (AB) - les chances qu'il y ait deux filles dans la famille. Faisons maintenant les calculs. Au total, il peut y avoir 4 combinaisons différentes du sexe des enfants, et dans un seul cas (quand il y a deux garçons dans la famille), il n'y aura pas de fille parmi les enfants. Par conséquent, la probabilité P (B) = 3/4 et P (AB) = 1/4. Ensuite, en suivant notre formule, nous obtenons:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Vous pouvez interpréter le résultat comme ceci: si nous ne connaissions pas le sexe de l’un des enfants, les chances de deux filles seraient de 25 à 100. Mais comme nous savons qu’un enfant est une fille, la probabilité qu’il n’y ait pas de garçons dans la famille s’élève à un tiers.