Ayant acquis une connaissance approfondie du travail avec les fonctions, nousarmé d'un ensemble d'outils suffisant permettant une étude complète d'un modèle mathématique spécifique sous la forme d'une formule (fonction). Bien sûr, on pourrait aller de la manière la plus simple, mais minutieuse. Par exemple, définissez les limites d'un argument, sélectionnez un intervalle, calculez les valeurs d'une fonction et construisez un graphique. En présence de puissants systèmes informatiques modernes, cette tâche est résolue en quelques secondes. Mais ils ne sont pas pressés de retirer de leur arsenal une étude complète de la fonction des mathématiques, car c'est avec ces méthodes que l'on peut évaluer l'exactitude du fonctionnement des systèmes informatiques pour résoudre de tels problèmes. Avec le tracé mécanique, nous ne pouvons pas garantir l'exactitude de l'intervalle ci-dessus dans le choix de l'argument.
Et ce n'est qu'après une étude complète de la fonction que l'on peut être sûr que toutes les nuances de son «comportement» ont été prises en compte non pas sur l'intervalle d'échantillonnage, mais sur l'ensemble de la plage de l'argument.
Pour résoudre une grande variété de tâches dans les domainesphysique, mathématique et technologie, il devient nécessaire de mener une étude de la relation fonctionnelle entre les variables impliquées dans le phénomène considéré. Cette dernière, donnée analytiquement par une ou par un ensemble de plusieurs formules, permet des recherches utilisant des méthodes d'analyse mathématique.
Mener une étude complète d'une fonction, c'est découvrir et déterminer les zones dans lesquelles elle augmente (diminue), où elle atteint un maximum (minimum), ainsi que d'autres caractéristiques de son graphique.
Il existe certains schémas selon lesquelsune étude fonctionnelle complète est effectuée. Les exemples de listes de recherches mathématiques menées se réduisent à trouver presque les mêmes points. Le plan d'analyse approximatif comprend les études suivantes:
- on trouve le domaine de la fonction, on étudie le comportement dans ses limites;
- nous effectuons la recherche de points de rupture avec classification en utilisant des limites unilatérales;
- nous déterminons les asymptotes;
- trouver des points extrêmes et des intervalles de monotonie;
- on détermine les points d'inflexion, les intervalles de concavité et de convexité;
- nous construisons un graphe basé sur les résultats obtenus lors de l'étude.
Considérant seulement quelques points de ceciplan il convient de noter que le calcul différentiel s'est avéré être un outil très efficace pour l'étude des fonctions. Il existe des connexions assez simples entre le comportement d'une fonction et les caractéristiques de sa dérivée. Pour résoudre ce problème, il suffit de calculer les première et seconde dérivées.
Considérez l'ordre de trouver les intervalles de décroissance, d'augmentation de la fonction, ils sont également appelés intervalles monotones.
Pour ce faire, il suffit de déterminer le signe du premierdérivé sur un certain segment. S'il est constamment supérieur à zéro sur le segment, alors nous pouvons juger en toute sécurité l'augmentation monotone de la fonction dans cette plage, et vice versa. Les valeurs négatives de la première dérivée caractérisent la fonction comme décroissante de manière monotone.
En utilisant le dérivé calculé, nous déterminonszones du graphe, appelées convexités, ainsi que concavités de la fonction. Il est prouvé que si, au cours des calculs, la dérivée d'une fonction est continue et négative, cela indique la convexité, la continuité de la dérivée seconde et sa valeur positive indique la concavité du graphe.
Trouver le moment où il y a un changement de signepour la dérivée seconde ou les zones où elle n'existe pas, indique la définition du point d'inflexion. C'est elle qui est la frontière sur les intervalles de convexité et de concavité.
L'exploration complète des fonctions ne se termine pas parles points ci-dessus, mais l'utilisation du calcul différentiel simplifie grandement ce processus. Dans le même temps, les résultats de l'analyse ont le degré de fiabilité maximal, ce qui vous permet de créer un graphique qui correspond pleinement aux propriétés des fonctions étudiées.
