Funzione continua

La funzione continua è una funzionesenza "salti", ovvero uno per il quale la condizione è soddisfatta: piccole modifiche all'argomento sono seguite da piccole modifiche ai corrispondenti valori della funzione. Il grafico di tale funzione è una curva liscia o continua.

Continuità a un certo punto limitante per alcuniinsiemi, può essere determinato usando il concetto di limite, ovvero: una funzione deve avere un limite a questo punto, che è uguale al suo valore nel punto limite.

Se queste condizioni vengono violate ad un certo punto,Dicono che la funzione a questo punto subisce una pausa, cioè la sua continuità è violata. Nella lingua dei limiti, il punto di discontinuità può essere descritto come la mancata corrispondenza del valore della funzione nel punto discontinuo con il limite della funzione (se esiste).

Il punto di interruzione può essere rimovibile, per questoè necessario avere un limite di funzione, ma non coincidere con il suo valore in un dato punto. In questo caso, può essere "corretto" a questo punto, cioè ulteriormente definito in continuità.
Un quadro completamente diverso si sviluppa se il limite della funzione in un determinato punto non esiste. Esistono due possibili punti di interruzione:

• il primo tipo - entrambi i limiti unilaterali sono e sono finiti, e il valore di uno di essi o entrambi non coincide con il valore della funzione in un dato punto;
• il secondo tipo, quando uno o entrambi i limiti unilaterali non esistono o i loro valori sono infiniti.

Proprietà delle funzioni continue

• Anche la funzione ottenuta a seguito di operazioni aritmetiche, nonché la sovrapposizione di funzioni continue sul loro dominio di definizione, è continua.
• Se viene data una funzione continua che è positiva ad un certo punto, allora si può sempre trovare un quartiere sufficientemente piccolo in cui conserva il suo segno.
• Allo stesso modo, se i suoi valori in due punti A e Bsono uguali, rispettivamente, a e b, e a è diverso da b, quindi per i punti intermedi prenderà tutti i valori dell'intervallo (a; b). Da ciò si può trarre una conclusione interessante: se si lascia restringere la gomma allungata in modo che non si abbassi (rimane diritta), allora uno dei suoi punti rimarrà immobile. Ma geometricamente, ciò significa che esiste una linea che passa attraverso qualsiasi punto intermedio tra A e B che interseca il grafico della funzione.

Notiamo alcune delle funzioni elementari continue (nel dominio della loro definizione):

• costante;
• razionale;
• trigonometrica.

Tra i due concetti fondamentali inmatematica - continuità e differenziabilità - esiste un legame indissolubile. Basta ricordare che per la differenziabilità di una funzione è necessario che sia una funzione continua.

Se la funzione è differenziabile ad un certo punto, allora è continua. Tuttavia, non è necessario che il suo derivato sia continuo.

Funzione che ha su alcuni setderivata continua, appartiene a una classe separata di funzioni regolari. In altre parole, è una funzione continuamente differenziabile. Se la derivata ha un numero limitato di punti di discontinuità (solo del primo tipo), una funzione simile viene chiamata liscia a tratti.

Un altro importante concetto di analisi matematicaè la continuità uniforme della funzione, cioè la sua capacità di essere ugualmente continua in qualsiasi punto del suo dominio di definizione. Pertanto, questa è una proprietà che viene considerata su una serie di punti e non in una particolare.

Se risolvi un punto, non è cosaaltrimenti, come definizione di continuità, cioè dalla presenza di continuità uniforme ne consegue che abbiamo una funzione continua. In generale, il contrario non è vero. Tuttavia, secondo il teorema di Cantor, se una funzione è continua su un set compatto, cioè su un intervallo chiuso, allora è uniformemente continua su di essa.