Uzdevumi, kas ved uz jēdzienu “dubults integrālis”.
- Ļaujiet dot plaknes materiāla plakniplāksne, kurā ir zināms blīvums. Jums jāatrod šīs plāksnes masa. Tā kā šai plāksnei ir skaidri izmēri, to var ievietot taisnstūrī. Plāksnes blīvumu var saprast arī šādi: tajos taisnstūra punktos, kas nepieder pie plāksnes, mēs pieņemam, ka blīvums ir nulle. Mēs definējam vienmērīgu nodalījumu vienā un tajā pašā daļiņu skaitā. Tādējādi dotais skaitlis tiks sadalīts elementāros taisnstūros. Apsveriet vienu no šiem taisnstūriem. Izvēlieties jebkuru šī taisnstūra punktu. Tā kā šāds taisnstūris ir mazs, mēs pieņemam, ka blīvums katrā šī taisnstūra punktā ir nemainīga vērtība. Tad tiks noteikta šādas taisnstūrveida daļiņas masa, reizinot blīvumu šajā vietā ar taisnstūra laukumu. Platība, kā jūs zināt, ir taisnstūra garuma reizinājums ar platumu. Un koordinātu plaknē - tas ir izmaiņas dažos soļos. Tad visas plāksnes masa būs šādu taisnstūru masu summa. Ja šajā proporcijā mēs ejam uz robežas, tad mēs varam iegūt precīzu attiecību.
- Зададим пространственное тело, которое ограничено izcelsme un kāda funkcija. Ir nepieciešams atrast norādītā ķermeņa tilpumu. Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, mēs sadalām reģionu taisnstūros. Mēs pieņemam, ka punktos, kas nepieder reģionam, funkcija būs 0. Apsveriet vienu no taisnstūrveida starpsienām. Caur šī taisnstūra malām mēs zīmējam plaknes, kas ir perpendikulāras abscisu un ordinātu asīm. Mēs iegūstam lodziņu, kuru zemāk ierobežo plakne attiecībā pret piemērojamā asi, un virs funkcijas, kas tika norādīta problēmas paziņojumā. Izvēlieties punktu taisnstūra vidū. Šī taisnstūra mazā izmēra dēļ mēs varam pieņemt, ka funkcijai šajā taisnstūrī ir nemainīga vērtība, tad taisnstūra tilpumu var aprēķināt. Un skaitļa tilpums būs vienāds ar visu šādu taisnstūru visu apjomu summām. Lai iegūtu precīzu vērtību, jums jāiet uz robežas.
Kā redzams no norādītajiem uzdevumiem, katrā piemērā mēs secinām, ka dažādi uzdevumi liek apsvērt viena veida divkāršas summas.
Divkāršās integrālās īpašības.
Nosakām uzdevumu.Ļaujiet divu mainīgo funkciju dot kādā slēgtā domēnā, un dotā funkcija ir nepārtraukta. Tā kā apgabals ir ierobežots, varat to ievietot jebkurā taisnstūrī, kas pilnībā satur punkta īpašības noteiktā apgabalā. Sadaliet taisnstūri vienādās daļās. Sauksim sadalījuma diametru par lielāko iegūto taisnstūru diagonāli. Tagad izvēlēsimies punktu viena šāda taisnstūra robežās. Ja šajā brīdī atradīsit vērtību, summējiet summu, tad šī summa tiks saukta par funkcijas integrālu dotajā apgabalā. Atrodīsim šādas integrālās summas robežu ar nosacījumiem, ka sadalījuma diametrs seko līdz 0, bet taisnstūru skaits - līdz bezgalībai. Ja šāda robeža pastāv un nav atkarīga no zonas sadalīšanas taisnstūros un punkta izvēles, tad to sauc par dubulto integrāli.
Divkāršā integrāla ģeometriskais saturs: divkāršais integrālis skaitliski ir vienāds ar ķermeņa tilpumu, kas tika aprakstīts 2. uzdevumā.
Zinot dubulto integrālu (definīciju), varat iestatīt šādas īpašības:
- Konstantu var ņemt ārpus integrālās zīmes.
- Summas (starpības) integrālis ir vienāds ar integrāļu summu (starpību).
- Mazākā funkcija būs tā, kuras divkāršais integrālis ir mazāks.
- Moduli var ievadīt zem dubultās integrālās zīmes.
