O que é probabilidade condicional e como calculá-la corretamente?

Muitas vezes na vida nos deparamos com o que é necessárioavaliar as chances de um evento ocorrer. Quer valha a pena comprar um bilhete de loteria ou não, qual será o sexo do terceiro filho da família, se amanhã vai estar bom tempo ou vai chover de novo - são inúmeros os exemplos. No caso mais simples, o número de resultados favoráveis ​​deve ser dividido pelo número total de eventos. Se houver 10 bilhetes vencedores na loteria e houver 50 no total, as chances de ganhar um prêmio são 10/50 = 0,2, ou seja, 20 contra 100. Mas o que fazer se houver vários eventos, e eles estão intimamente relacionados? Neste caso, não estaremos mais interessados ​​na probabilidade simples, mas condicional. Qual é esse valor e como ele pode ser calculado - isso será exatamente o que será discutido em nosso artigo.

O conceito de

A probabilidade condicional é a chance de uma ocorrênciaum evento específico, desde que outro evento relacionado já tenha ocorrido. Vejamos um exemplo simples de lançamento de uma moeda. Se ainda não houver empate, as chances de obter cara ou coroa serão as mesmas. Mas se cinco vezes consecutivas a moeda cair com o brasão para cima, concorde em esperar a 6ª, 7ª e ainda mais a 10ª repetição de tal resultado será ilógico. A cada ocorrência repetida de cara, as chances de aparecer coroa aumentam e, mais cedo ou mais tarde, isso vai surgir.

Fórmula de probabilidade condicional

Vamos agora descobrir como esse valorcalculado. Denotemos o primeiro evento por B e o segundo por A. Se as chances de ocorrência de B forem diferentes de zero, então a seguinte igualdade será verdadeira:

P (A | B) = P (AB) / P (B), onde:

• Р (А | В) - probabilidade condicional do total А;
• P (AB) é a probabilidade de ocorrência conjunta dos eventos A e B;
• P (B) é a probabilidade do evento B.

Transformando ligeiramente essa razão, obtemos P (AB) = P (A | B) * P (B). E se aplicarmos o método de indução, podemos derivar uma fórmula de produto e usá-la para um número arbitrário de eventos:

P (A₁, UMA₂, UMA₃,…UMA_n) = P (A₁| A₂…UMA_n) * P (A₂| A₃…UMA_n) * P (A₃| A₄…UMA_n) ... P (A_n-1| A_n) * P (A_n).

Prática

Para tornar mais fácil descobrir comoa probabilidade condicional de um evento é calculada, considere alguns exemplos. Suponha que você tenha um vaso contendo 8 chocolates e 7 balas. Eles são do mesmo tamanho e dois deles são retirados aleatoriamente em sequência. Quais são as chances de que os dois acabem sendo chocolate? Deixe-nos apresentar a notação. Deixe o total A significar que o primeiro doce é chocolate e o total B - o segundo doce. Então você obtém o seguinte:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Vamos considerar mais um caso. Suponha que haja uma família de dois filhos e sabemos que pelo menos um dos filhos é uma menina.

Qual é a probabilidade condicional de que os meninos têmEsses pais ainda não são? Como no caso anterior, vamos começar com a notação. Seja P (B) - a probabilidade de que haja pelo menos uma menina na família, P (A | B) - a probabilidade de que o segundo filho também seja uma menina, P (AB) - as chances de haver duas meninas em a família. Agora vamos fazer os cálculos. No total, podem haver 4 combinações diferentes do sexo das crianças, e em apenas um caso (quando há dois meninos na família), não haverá nenhuma menina entre as crianças. Portanto, a probabilidade P (B) = 3/4 e P (AB) = 1/4. Então, seguindo nossa fórmula, obtemos:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Você pode interpretar o resultado assim:se não soubéssemos sobre o sexo de um dos filhos, as chances de duas meninas seriam de 25 a 100. Mas, como sabemos que uma criança é menina, a probabilidade de não haver meninos na família aumenta para um -terceiro.