De volta à escola, cada um de nós estudou equações e,provavelmente um sistema de equações. Mas poucas pessoas sabem que existem várias maneiras de resolvê-los. Hoje vamos analisar em detalhes todos os métodos para resolver um sistema de equações algébricas lineares, que consistem em mais de duas igualdades.
Hoje se sabe que a artepara resolver equações e seus sistemas originados na Antiga Babilônia e no Egito. No entanto, as igualdades em sua forma usual apareceram após o aparecimento do sinal de igual "=", que foi introduzido em 1556 pelo matemático inglês Record. A propósito, este sinal foi escolhido por um motivo: significa dois segmentos paralelos iguais. Na verdade, não há melhor exemplo de igualdade.
O fundador do alfabeto modernonotação desconhecida e sinais de grau é o matemático francês François Viet. No entanto, suas designações eram significativamente diferentes das de hoje. Por exemplo, ele denotou o quadrado de um número desconhecido com a letra Q (latim "quadratus"), e o cubo com a letra C (latim "cubus"). Essa notação agora parece estranha, mas era a maneira mais compreensível de escrever sistemas de equações algébricas lineares.
No entanto, a desvantagem nos métodos de soluçãoera que os matemáticos só consideravam raízes positivas. Talvez isso se deva ao fato de os valores negativos não terem uso prático. De uma forma ou de outra, foram os matemáticos italianos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli os primeiros a considerar as raízes negativas no século XVI. E a forma moderna, principal método de resolução de equações quadráticas (por meio do discriminante), foi criado apenas no século XVII, graças aos trabalhos de Descartes e Newton.
Gabriel, matemático suíço de meados do século 18Kramer descobriu uma nova maneira de tornar mais fácil a solução de sistemas de equações lineares. Este método foi posteriormente nomeado em sua homenagem e até hoje o usamos. Mas falaremos sobre o método de Cramer um pouco mais tarde, mas por enquanto discutiremos equações lineares e métodos para sua solução separadamente do sistema.
As equações lineares são as igualdades mais simples com uma (s) variável (es). Eles são classificados como algébricos. As equações lineares são escritas na forma geral da seguinte forma: a1* x1+ a2 *com2+ ... aO senhor* xO senhor= b. Precisaremos de sua representação nesta forma ao compilar sistemas e matrizes posteriormente.
A definição deste termo é a seguinte:é um conjunto de equações que têm incógnitas comuns e uma solução comum. Via de regra, na escola todos eram resolvidos por sistemas com duas ou até três equações. Mas existem sistemas com quatro ou mais componentes. Vamos primeiro descobrir como escrevê-los para que seja conveniente resolvê-los no futuro. Primeiro, os sistemas de equações algébricas lineares parecerão melhores se todas as variáveis forem escritas como x com o índice apropriado: 1,2,3 e assim por diante. Em segundo lugar, todas as equações devem ser reduzidas à forma canônica: a1* x1+ a2 *com2+ ... aO senhor* xO senhor= b.
Após todas essas etapas, podemos começar a dizer como encontrar uma solução para sistemas de equações lineares. As matrizes são muito úteis para isso.
Matrix é uma tabela que consiste em linhas ecolunas, e em sua intersecção estão seus elementos. Podem ser valores ou variáveis específicos. Na maioria das vezes, para designar elementos, os subscritos são colocados sob eles (por exemplo, um11 ou um23) O primeiro índice é o número da linha e o segundo é a coluna. Várias operações podem ser realizadas em matrizes, bem como em qualquer outro elemento matemático. Assim, você pode:
1) Subtraia e adicione tabelas do mesmo tamanho.
2) Multiplique a matriz por qualquer número ou vetor.
3) Transpor: transforme as linhas da matriz em colunas e as colunas em linhas.
4) Multiplique as matrizes se o número de linhas de uma delas for igual ao número de colunas da outra.
Discutiremos todas essas técnicas em mais detalhes, uma vez que elasserá útil para nós no futuro. A subtração e adição de matrizes é muito simples. Visto que pegamos matrizes do mesmo tamanho, cada elemento de uma tabela corresponde a cada elemento da outra. Assim, adicionamos (subtraímos) esses dois elementos (é importante que eles fiquem nos mesmos lugares em suas matrizes). Ao multiplicar uma matriz por um número ou vetor, você só precisa multiplicar cada elemento da matriz por esse número (ou vetor). A transposição é um processo muito interessante. É muito interessante ver isso às vezes na vida real, por exemplo, ao mudar a orientação de um tablet ou telefone. Os ícones na área de trabalho são uma matriz e quando você muda a posição, ela é transposta e fica mais larga, mas diminui de altura.
Vamos também analisar um processo como a multiplicação de matrizes.Embora não seja útil para nós, ainda será útil conhecê-lo. Você pode multiplicar duas matrizes apenas se o número de colunas em uma tabela for igual ao número de linhas na outra. Agora vamos pegar os elementos de uma linha de uma matriz e os elementos da coluna correspondente de outra. Nós os multiplicamos um pelo outro e, em seguida, os somamos (isto é, por exemplo, o produto dos elementos11 e um12 em b12 e B22 será igual a: a11* b12 + a12* b22) Assim, um elemento da tabela é obtido e, por um método semelhante, é preenchido posteriormente.
Agora podemos começar a considerar como o sistema de equações lineares é resolvido.
Este assunto começa a ser discutido na escola. Conhecemos bem o conceito de "sistema de duas equações lineares" e somos capazes de resolvê-los. Mas e se o número de equações for maior que dois? O método de Gauss nos ajudará nisso.
Claro, esse método é conveniente de usar se você fizer uma matriz do sistema. Mas você não pode transformá-lo e resolvê-lo em sua forma mais pura.
Então, como é o sistema deEquações de Gauss? A propósito, embora este método tenha o nome dele, foi descoberto na antiguidade. Gauss propõe o seguinte: realizar operações com equações para eventualmente reduzir todo o conjunto a uma forma gradual. Ou seja, é necessário que de cima para baixo (se colocado corretamente) da primeira equação à última diminua em uma incógnita. Em outras palavras, precisamos ter certeza de obter, digamos, três equações: na primeira - três incógnitas, na segunda - duas, na terceira - uma. Então, da última equação, encontramos a primeira incógnita, substituímos seu valor na segunda ou primeira equação e, a seguir, encontramos as duas variáveis restantes.
Para dominar este método, é vitalpossui as habilidades de adição e subtração de matrizes e também precisa ser capaz de encontrar determinantes. Portanto, se você não faz tudo isso bem ou não sabe como fazer, terá que aprender e praticar.
Qual é a essência deste método e como torná-loobteve um sistema de equações lineares de Cramer? Tudo é muito simples. Temos que construir uma matriz a partir dos coeficientes numéricos (quase sempre) de um sistema de equações algébricas lineares. Para fazer isso, simplesmente pegamos os números na frente das incógnitas e os colocamos na tabela na ordem em que são escritos no sistema. Se houver um sinal "-" antes do número, anote um coeficiente negativo. Então, compilamos a primeira matriz dos coeficientes para as incógnitas, não incluindo os números após os sinais de igual (naturalmente, a equação deve ser reduzida à forma canônica, quando apenas um número está à direita, e todas as incógnitas com coeficientes estão à esquerda). Então você precisa criar várias matrizes - uma para cada variável. Para isso, na primeira matriz, por sua vez, substitua cada coluna com os coeficientes pela coluna de números após o sinal de igual. Assim, obtemos várias matrizes e, em seguida, encontramos seus determinantes.
Depois de encontrarmos os qualificadores, o caso parapequena. Temos uma matriz inicial e várias matrizes resultantes que correspondem a diferentes variáveis. Para obter soluções de sistema, dividimos o determinante da tabela resultante pelo determinante da tabela inicial. O número resultante é o valor de uma das variáveis. Da mesma forma, encontramos todas as incógnitas.
Existem vários outros métodos paraobter uma solução para sistemas de equações lineares. Por exemplo, o chamado método de Gauss-Jordan, que é usado para encontrar soluções para um sistema de equações quadráticas e também está associado ao uso de matrizes. Também existe um método Jacobi para resolver um sistema de equações algébricas lineares. É o mais fácil de se adaptar a um computador e é usado na computação.
A dificuldade geralmente surge se o número de equaçõesmenos variáveis. Então podemos dizer com certeza que ou o sistema é incompatível (ou seja, não tem raízes), ou o número de suas soluções tende ao infinito. Se tivermos o segundo caso, precisamos escrever a solução geral de um sistema de equações lineares. Ele conterá pelo menos uma variável.
Aqui chegamos ao fim.Para resumir: nós analisamos o que são um sistema e uma matriz, aprendemos como encontrar uma solução geral para um sistema de equações lineares. Além disso, outras opções foram consideradas. Descobrimos como se resolve o sistema de equações lineares: o método de Gauss e o método de Cramer. Conversamos sobre casos difíceis e outras maneiras de encontrar soluções.
Na verdade, este tópico é muito mais extenso, e se você deseja entendê-lo melhor, recomendamos que você leia uma literatura mais especializada.
