Rovnostranný trojuholník: vlastnosti, znaky, plocha, obvod

V školskom kurze geometrie obrovské množstvočas sa venuje štúdiu trojuholníkov. Žiaci vypočítavajú uhly, stavajú križovatky a výšky, zisťujú, ako sa čísla navzájom od seba líšia, a najjednoduchší spôsob, ako nájsť svoju oblasť a obvod. Zdá sa, že to v živote nie je užitočné, ale niekedy je užitočné zistiť napríklad, ako určiť, či je trojuholník rovnostranný alebo tupý. Ako na to?

Druhy trojuholníkov

- tri body, ktoré nespočívajú na jednej priamke, a -segmenty, ktoré ich spájajú. Toto číslo sa zdá byť najjednoduchšie. Čo môžu byť trojuholníky, ak majú iba tri strany? V skutočnosti existuje veľa možností a niektorým z nich sa venuje osobitná pozornosť v rámci kurzu školskej geometrie. Pravidelný trojuholník je rovnostranný, to znamená, že všetky jeho uhly a strany sú rovnaké. Má množstvo pozoruhodných vlastností, o ktorých sa bude hovoriť neskôr.

V rovnoramenných sú rovnaké iba dve strany a ontiež celkom zaujímavé. Pri pravouhlých a tupých trojuholníkoch, ako je možné ľahko uhádnuť, je jeden z uhlov rovný alebo tupý. Môžu však byť tiež rovnoramennými.

K dispozícii je tiež špeciálny druh trojuholníka s názvomEgyptský. Jeho strany sa rovnajú 3, 4 a 5 jednotkám. Navyše je obdĺžnikový. Predpokladá sa, že takýto trojuholník egyptskí inšpektori a architekti aktívne využívali na vytváranie pravých uhlov. Predpokladá sa, že s jeho pomocou boli postavené slávne pyramídy.

Všetky vrcholy trojuholníka však môžu ležaťna jednej priamke. V tomto prípade sa bude nazývať degenerovaný, zatiaľ čo ostatné - nedegenerovaný. Sú jedným z predmetov štúdia geometrie.

Rovnostranný trojuholník

Správne postavy samozrejme vždy vyvolávajúnajväčší záujem. Vyzerajú dokonalejšie, elegantnejšie. Vzorce na výpočet ich charakteristík sú často jednoduchšie a kratšie ako v prípade bežných čísel. Platí to aj pre trojuholníky. Nie je prekvapujúce, že sa im pri štúdiu geometrie venuje veľká pozornosť: školáci sa učia odlíšiť správne postavy od zvyšku a hovoriť aj o niektorých zaujímavých vlastnostiach.

Znaky a vlastnosti

Ako už názov napovedá, každýstrana rovnostranného trojuholníka sa rovná zvyšným dvom. Okrem toho má množstvo znakov, vďaka ktorým môžete určiť, či je obrázok správny alebo nie.

• všetky jeho uhly sú rovnaké, ich veľkosť je 60 stupňov;
• bisektory, výšky a mediány získané z každého vrcholu sa zhodujú;
• pravidelný trojuholník má 3 osi symetrie, pri otáčaní o 120 stupňov sa nemení.
• stred vpísaného kruhu je tiež stredom ohraničeného kruhu a priesečníkom stredov, križovatiek, výšok a stredných kolmíc.

Ak je pozorovaný aspoň jeden z vyššie uvedených znakov, potom trojuholník je rovnostranný. Pre správne číslo sú všetky vyššie uvedené tvrdenia pravdivé.

Všetky trojuholníky majú niekoľko pozoruhodnýchVlastnosti. Po prvé, stredná čiara, tj segment, ktorý delí dve strany na polovicu a rovnobežne s treťou, sa rovná polovici základne. Po druhé, súčet všetkých rohov tohto čísla je vždy rovný 180 stupňom. Okrem toho sa v trojuholníkoch pozoruje ďalší zaujímavý vzťah. Na väčšej strane leží väčší uhol a naopak. Toto však, samozrejme, nemá nič spoločné s rovnostranným trojuholníkom, pretože má rovnaké uhly.

Vnorené a zakrúžkované kruhy

Študenti často študujú aj geometriu.ako môžu tvary vzájomne pôsobiť. Študujú sa najmä kruhy vpísané do polygónov alebo ohraničené okolo nich. O čom to je?

Zápisovaný kruh je taký kruh, pre ktorývšetky strany mnohouholníka sú tangenciálne. Opis - ten, ktorý má body kontaktu so všetkými uhlami. Pre každý trojuholník môžete vždy zostaviť prvý aj druhý kruh, ale iba jeden z každého druhu. Dôkaz o týchto dvoch

Okrem výpočtu parametrov samotných trojuholníkov, niektoré úlohy zahŕňajú aj výpočet polomerov týchto kružníc. A použité vzorce
rovnostranný trojuholník je nasledujúci:

r = a / 3;

R = a / 2 + 3;

kde r je polomer vpísanej kružnice, R je polomer ohraničenej kružnice, a je dĺžka strany trojuholníka.

Výpočet výšky, obvodu a plochy

Hlavné parametre, ktorých výpočetškoláci sa zaoberajú štúdiom geometrie, takmer pre každú postavu zostávajú nezmenení. Toto je obvod, plocha a výška. Na uľahčenie výpočtu existujú rôzne vzorce.

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, kde a je strana pravidelného trojuholníka, R je polomer kruhového kruhu, r je kruhový kruh.

Výška:

h = (√ ̅3 / 2) * a, kde a je dĺžka strany.

Nakoniec vzorec pre plochu rovnostranného trojuholníka je odvodený od štandardného, ​​to znamená, že súčinom výšky základne je súčin polovice základne.

S = (√ ̅3 / 4) * a², kde a je dĺžka strany.

Túto hodnotu je tiež možné vypočítať pomocou parametrov kruhu alebo vpísanej kružnice. Existujú na to aj špeciálne vzorce:

S = 3√ ̅3r² = (3√ ̅3 / 4) * R², kde r a R sú polomery vpísaných a opísaných kruhov.

Budova

S ďalším zaujímavým typom problému vrátane trojuholníkov súvisí potreba nakresliť konkrétny tvar pomocou minimálnej množiny

Ak chcete vytvoriť pravidelný trojuholník iba pomocou týchto zariadení, musíte postupovať podľa niekoľkých krokov.

1. Je potrebné nakresliť kruh s ľubovoľným polomerom a so stredom v ľubovoľnom bode A. Musí byť označený.
2. Ďalej musíte cez tento bod nakresliť rovnú čiaru.
3. Priesečníky kruhu a priamky musia byť označené ako B a C. Všetky stavby musia byť vykonané s čo najväčšou presnosťou.
4. Ďalej musíte vytvoriť ďalší kruh s rovnakým polomerom a stredom v bode C alebo oblúk s príslušnými parametrami. Priesečníky budú označené ako D a F.
5. Body B, F, D musia byť spojené so segmentmi. Je zostavený rovnostranný trojuholník.

Riešenie takýchto problémov býva problémom školákov, ale táto zručnosť môže byť užitočná v každodennom živote.