Једноставна итерациона метода, која се назива и методомузастопна апроксимација је математички алгоритам за проналажење вредности непознате величине њеним постепеним усавршавањем. Суштина ове методе је у томе што се, као што назив говори, постепено изражавајући оне наредне из почетне апроксимације, добијају све више и више рафинираних резултата. Ова метода се користи за проналажење вредности променљиве у датој функцији, као и приликом решавања система једначина, линеарних и нелинеарних.
Размотримо како се овај метод примењује приликом решавања СЛАЕ. Једноставна метода итерације има следећи алгоритам:
једно.Провера испуњености услова конвергенције у оригиналној матрици. Теорема о конвергенцији: ако почетна матрица система има дијагоналну доминацију (тј. У сваком реду елементи главне дијагонале морају бити већи по модулу од збира елемената секундарних дијагонала по модулу), тада се користи метода једноставног итерација је конвергентна.
2Матрица оригиналног система нема увек дијагоналну доминацију. У таквим случајевима систем се може конвертовати. Једначине које задовољавају услов конвергенције остају нетакнуте, а са онима које не задовољавају чине линеарне комбинације, тј. множити, одузимати, сабирати једначине док се не добије жељени резултат.
Ако у резултујућем систему на главној дијагонали постоје незгодни коефицијенти, онда су изрази облика саи* Иксја, чији се знакови морају поклапати са знаковима дијагоналних елемената.
3. Конверзија резултујућег система у његов нормални облик:
са-= β-+ α * к-
То се може учинити на више начина, на пример, овако: из прве једначине изразити к1 кроз друге непознанице, од друге - х2, од треће- х3 итд. У овом случају користимо формуле:
αиј= - (аиј / аии)
и= би/ аии
Треба поново потврдити да резултујући систем нормалног облика испуњава услов конвергенције:
∑ (ј = 1) | αиј| ≤ 1, док је и = 1,2, ... н
4. У ствари почињемо да примењујемо сам метод узастопних апроксимација.
са(0)је почетна апроксимација, кроз њу изражавамо к(1), затим кроз х(1) изразити к(2)... Општа формула у матричном облику изгледа овако:
са(н)= β-+ α * к(н-1)
Израчунавамо док не постигнемо потребну тачност:
мак | ки(к) -ки(к + 1) ≤ ε
Дакле, применимо једноставну методу итерације у пракси. Пример:
Решите СЛАЕ:
4,5к1-1,7к2 + 3,5к3 = 2
3,1к1 + 2,3к2-1,1к3 = 1
1,8к1 + 2,5к2 + 4,7к3 = 4 са прецизношћу ε = 10-3
Да видимо да ли дијагонални елементи превладавају у модулу.
Видимо да само трећа једначина задовољава услов конвергенције. Трансформишемо прву и другу, додамо другу првој једначини:
7,6к1 + 0,6к2 + 2,4к3 = 3
Одузми прво од трећег:
-2,7к1 + 4,2к2 + 1,2к3 = 2
Претворили смо оригинални систем у еквивалентан:
7,6к1 + 0,6к2 + 2,4к3 = 3
-2,7к1 + 4,2к2 + 1,2к3 = 2
1,8к1 + 2,5к2 + 4,7к3 = 4
Сада вратимо систем у нормалу:
к1 = 0,3947-0,0789к2-0,3158к3
к2 = 0,4762 + 0,6429к1-0,2857к3
к3 = 0,8511-0,383к1-0,5319к2
Провера конвергенције итеративног процеса:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, тј. услов је испуњен.
0,3947
Почетна апроксимација к(0) = 0,4762
0,8511
Заменом ових вредности у једначину нормалног облика добијамо следеће вредности:
0,08835
са(једно)= 0,486793
0,446639
Заменом нових вредности добијамо:
0,215243
са(2)= 0,405396
0,558336
Настављамо прорачуне док се не приближимо вредностима које задовољавају дати услов.
0,18813
са(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
са(осам) = 0,44164
0,544428
Hajde da proverimo tačnost dobijenih rezultata:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Rezultati dobijeni zamenom pronađenih vrednosti u originalne jednačine u potpunosti zadovoljavaju uslove jednačine.
Kao što vidimo, jednostavna metoda iteracije daje prilično tačne rezultate, međutim, da bismo rešili ovu jednačinu, morali smo da potrošimo mnogo vremena i uradimo glomazne proračune.
