Fonction continue

Une fonction continue est une fonctionsans "sauts", c'est-à-dire pour lesquels la condition est satisfaite: de petites modifications de l'argument sont suivies de petits changements dans les valeurs correspondantes de la fonction. Le graphique d'une telle fonction est une courbe lisse ou continue.

Непрерывность в точке, предельной для некоторого Les ensembles peuvent être définis à l'aide du concept de limite, à savoir: une fonction doit avoir une limite à ce point, qui est égale à sa valeur au point limite.

Si ces conditions sont violées à un moment donné,dire qu'une fonction à un point donné subit une discontinuité, c'est-à-dire que sa continuité est violée. Dans le langage des limites, le point de discontinuité peut être décrit comme une inadéquation de la valeur d'une fonction à un point discontinu avec la limite d'une fonction (si elle existe).

Le point de discontinuité peut être éliminé, pour celaIl faut avoir la limite d'une fonction, mais elle ne coïncide pas avec sa valeur à un point donné. Dans ce cas, il peut être "corrigé" à ce stade, c’est-à-dire qu’il peut être étendu à la continuité.
Une image complètement différente est créée si la limite de la fonction à un point donné n'existe pas. Il existe deux variantes possibles de points d'arrêt:

• du premier type - les deux limites unilatérales existent et sont finies, et la valeur de l'une d'elles ou des deux ne coïncide pas avec la valeur de la fonction en un point donné;
• deuxième type, lorsque l'une ou les deux limites unilatérales n'existent pas ou que leurs valeurs sont infinies.

Propriétés des fonctions continues

• La fonction obtenue dans le résultat d'opérations arithmétiques, ainsi que la superposition de fonctions continues sur leur domaine de définition, sont également continues.
• Si une fonction continue positive est donnée à un moment donné, il est toujours possible de trouver un voisinage suffisamment petit sur lequel elle conserve son signe.
• De même, si ses valeurs à deux points A et Bsont respectivement a et b, et a est différent de b, alors pour les points intermédiaires, il prend toutes les valeurs de l'intervalle (a; b). De là, nous pouvons tirer une conclusion intéressante: si nous donnons un élastique tendu à rétrécir pour qu'il ne s'affaisse pas (reste droit), alors l'un de ses points restera fixe. Et géométriquement, cela signifie qu'il y a une ligne droite passant par un point intermédiaire entre A et B qui coupe le graphique de la fonction.

On note quelques fonctions élémentaires continues (sur le domaine de leur définition):

• constante;
• rationnel
• trigonométrique.

Entre deux concepts fondamentaux enmathématiques - continuité et différentiabilité - il existe un lien inextricable. Il suffit de rappeler que pour la différentiabilité d’une fonction, il faut qu’elle soit une fonction continue.

Si la fonction est différentiable à un moment donné, alors elle est continue. Cependant, il n'est pas nécessaire que son dérivé soit continu non plus.

Une fonction qui a sur un ensembledérivé continu, appartient à une classe distincte de fonctions lisses. En d'autres termes, il s'agit d'une fonction continuellement différenciable. Si la dérivée a un nombre limité de points de rupture (uniquement du premier type), une fonction similaire est appelée lisse par morceaux.

Еще одним важным понятием математического анализа est la continuité uniforme de la fonction, c’est-à-dire sa capacité à être également continue en tout point de son domaine de définition. Ainsi, cette propriété est considérée sur l'ensemble des points, et non sur une seule prise séparément.

Si vous corrigez le point, vous ne l'obtiendrez pasAutre, en tant que définition de la continuité, c'est-à-dire que l'existence d'une continuité uniforme implique que nous ayons une fonction continue devant nous. D'une manière générale, l'inverse n'est pas vrai. Cependant, selon le théorème de Cantor, si une fonction est continue sur un compactum, c’est-à-dire sur un intervalle fermé, elle est uniformément continue sur elle.