Un cours de mathématiques prépare les étudiants à une tonnesurprises, dont l'un est un problème de théorie des probabilités. Avec la solution de ces tâches, les étudiants ont un problème dans près de cent pour cent des cas. Pour comprendre et comprendre ce problème, vous devez connaître les règles de base, les axiomes et les définitions. Pour comprendre le texte du livre, vous devez connaître toutes les abréviations. Tout cela, nous vous proposons d'apprendre.
Puisque nous proposons un cours intensif en théorieprobabilités pour les nuls », vous devez d'abord introduire les concepts de base et les abréviations. Pour commencer, définissons le concept même de «théorie des probabilités». De quel genre de science s'agit-il et à quoi sert-il? La théorie des probabilités est l'une des branches des mathématiques qui étudie les phénomènes et les quantités aléatoires. Elle considère également les modèles, les propriétés et les opérations effectuées avec ces variables aléatoires. Pourquoi est-ce? La science s'est généralisée dans l'étude des phénomènes naturels. Tous les processus naturels et physiques ne sont pas complets sans la présence du hasard. Même si les résultats ont été enregistrés aussi précisément que possible pendant l'expérience, lorsque le même test est répété, le résultat n'est probablement pas le même.
Exemples de problèmes en théorie des probabilitésnous allons certainement considérer, vous pouvez voir par vous-même. Le résultat dépend de nombreux facteurs différents qu'il est presque impossible de prendre en compte ou d'enregistrer, mais ils ont néanmoins un impact considérable sur le résultat de l'expérience. Des exemples frappants sont le problème de la détermination de la trajectoire des planètes ou de la détermination des prévisions météorologiques, la probabilité de rencontrer une personne familière sur le chemin du travail et la détermination de la hauteur de saut d'un athlète. La théorie des probabilités est également d'une grande utilité pour les courtiers en bourse. Après trois ou quatre exemples ci-dessous, un problème de théorie des probabilités qui était auparavant problématique deviendra un jeu d'enfant pour vous.
Comme indiqué précédemment, la science étudie les événements. Théorie des probabilités, nous examinerons des exemples de résolution de problèmes un peu plus tard, étudie un seul type - aléatoire. Mais néanmoins, vous devez savoir que les événements peuvent être de trois types:
Nous proposons de discuter un peu de chacun d'eux. Un événement impossible ne se produira jamais, en aucune circonstance. Les exemples incluent: congeler de l'eau à des températures positives, retirer un cube d'un sac de balles.
Un événement fiable se produit toujours avecGarantie à 100% si toutes les conditions sont remplies. Par exemple: vous avez reçu un salaire pour le travail effectué, obtenu un diplôme d'enseignement professionnel supérieur, si vous avez étudié consciencieusement, réussi des examens et défendu votre diplôme, etc.
Avec des événements aléatoires, les choses sont un peu plus compliquées: au cours de l'expérience, cela peut arriver ou non, par exemple en tirant un as d'un jeu de cartes, en ne faisant pas plus de trois tentatives. Le résultat peut être obtenu à la fois du premier coup et, en général, non obtenu. C'est la probabilité de survenue d'un événement que la science étudie.
Dans un sens général, il s'agit d'une évaluation de la possibilité d'un succèsle résultat de l'expérience au cours de laquelle l'événement se produit. La probabilité est évaluée à un niveau qualitatif, surtout si la quantification est impossible ou difficile. Un problème dans la théorie des probabilités avec une solution, plus précisément avec une estimation de la probabilité d'un événement, implique de trouver la part très possible d'un aboutissement. La probabilité en mathématiques est une caractéristique numérique d'un événement. Il prend des valeurs de zéro à un, désignées par la lettre P. Si P est égal à zéro, alors l'événement ne peut pas se produire, s'il est à l'unité, alors l'événement se produira avec une probabilité de cent pour cent. Plus P s'approche de un, plus la probabilité de succès est forte, et vice versa, si elle est proche de zéro, l'événement se produira avec une faible probabilité.
Un problème de théorie des probabilités auquel vous serez bientôt confronté peut contenir les abréviations suivantes:
Quelques autres sont également possibles: des explications supplémentaires seront ajoutées si nécessaire. Nous suggérons, pour commencer, de clarifier les abréviations présentées ci-dessus. Le premier sur notre liste est le factoriel. Pour être clair, donnons des exemples: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 ou 3! = 1 * 2 * 3. En outre, des ensembles donnés sont écrits entre accolades, par exemple: {1; 2; 3; 4; ..; n} ou {10; 140; 400; 562}. La désignation suivante est un ensemble de nombres naturels, ce qui est assez courant dans les tâches sur la théorie des probabilités. Comme mentionné précédemment, P est la probabilité et P (X) est la probabilité d'occurrence de l'événement X. Les événements sont indiqués en majuscules de l'alphabet latin, par exemple: A - une boule blanche a été attrapée, B - bleu, C - rouge, ou, respectivement ,. La petite lettre n est le nombre de tous les résultats possibles et m est le nombre de résultats réussis. De là, nous obtenons la règle pour trouver la probabilité classique dans les problèmes élémentaires: Р = m / n. La théorie des probabilités «pour les nuls» est probablement limitée à cette connaissance. Maintenant, pour consolider, nous nous tournons vers la solution.
Le groupe étudiant est composé de trente personnes,parmi lesquels il faut choisir le chef, son adjoint et le dirigeant syndical. Vous devez trouver un certain nombre de façons de faire cette action. Une tâche similaire peut être trouvée sur l'examen. La théorie des probabilités, la solution des problèmes dont nous examinons maintenant, peut inclure des problèmes du cours de combinatoire, trouver la probabilité classique, géométrique et des problèmes pour les formules de base. Dans cet exemple, nous résolvons une tâche du cours de combinatoire. Passons à la solution. Cette tâche est la plus simple:
Il suffit de trouver le nombre d'options possible, c'est-à-dire de multiplier tous les indicateurs. En conséquence, nous obtenons: 30 * 29 * 28 = 24360.
Ce sera la réponse à la question posée.
6 participants prendront la parole lors de la conférence, ordredéterminé par tirage au sort. Nous devons trouver le nombre d'options de tirage possibles. Dans cet exemple, nous considérons une permutation de six éléments, c'est-à-dire que nous devons trouver 6!
Nous avons déjà mentionné dans le paragraphe d'abréviation que c'estceci et comment il est calculé. Il s'avère qu'il existe 720 options de tirage. À première vue, une tâche difficile a une solution complètement courte et simple. Telles sont les tâches que la théorie des probabilités considère. Nous verrons comment résoudre des problèmes de niveau supérieur dans les exemples suivants.
Un groupe d'étudiants de vingt-cinq personnesdoivent être divisés en trois sous-groupes de six, neuf et dix. Nous avons: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Il reste à substituer les valeurs dans la formule souhaitée, on obtient: N25 (6,9,10). Après de simples calculs, nous obtenons la réponse - 16 360 143 800. Si la tâche ne dit pas qu'il est nécessaire d'obtenir une solution numérique, vous pouvez la donner sous forme de factorielles.
Trois personnes ont demandé des nombres de un à dix. Trouvez la probabilité que quelqu'un ait les mêmes nombres. Premièrement, nous devons connaître le nombre de tous les résultats - dans notre cas, il est de mille, c'est-à-dire de dix à la troisième puissance. Nous allons maintenant trouver le nombre d'options lorsque tout le monde a demandé des nombres différents, pour cela nous multiplions dix, neuf et huit. D'où viennent ces chiffres? Le premier pense à un nombre, il a dix options, le second en a déjà neuf, et le troisième doit choisir parmi les huit restants, nous avons donc 720 options possibles. Comme nous l'avons calculé précédemment, il y a 1000 options au total, et 720 sans répétitions, par conséquent, nous nous intéressons aux 280 autres. Nous avons maintenant besoin d'une formule pour trouver la probabilité classique: P =. Nous avons la réponse: 0,28.
