Kaip nustatyti matricos determinantą?

Svarbu nustatyti matricos determinantąveiksmas ne tik tiesinei algebrai: pavyzdžiui, ekonomikoje, naudojant šį skaičiavimą, linijinių lygčių sistemos išsprendžiamos daugeliu nežinomų, plačiai naudojamų ekonominėse problemose.

Lemianti sąvoka

Matricos determinantas arba determinantasskambinkite lygiagretaus skersmens, pastatyto ant jo eilės vektorių ar stulpelių, tūrio. Apskaičiuokite šią vertę galima tik kvadratinei matricai, kurioje eilių ir stulpelių skaičius yra vienodas. Jei matricos nariai yra skaičiai, tuomet determinantas bus skaičius.

Determinantų skaičiavimas

Reikėtų prisiminti, kad yra keletas taisyklių, kurios gali labai palengvinti tokius skaičiavimus.

Taigi matricos, susidedančios iš vienos, determinantasnarys yra lygus jo vieninteliam elementui. Apskaičiuoti antrosios eilės determinantą nesunku, tam pakanka atimti iš antrinės įstrižainės esančių elementų sandaugą iš pagrindinės įstrižainės narių sandaugos.

Trečiojo laipsnio determinantą apskaičiuoti lengviausia pagal trikampio taisyklę. Norėdami tai padaryti, mes atliekame šiuos veiksmus:

1. Mes randame trijų pagrindinės matricos narių sandaugąįstrižainės.
2. Padauginame iš trijų trikampiuose esančių terminų, kurių pagrindai yra lygiagretūs pagrindinei įstrižai.
3. Mes pakartojame pirmąjį ir antrąjį žingsnius šoninei įstrižai.
4. Mes randame visų ankstesnių skaičiavimų metu gautų verčių sumą, o trečioje pastraipoje gauti skaičiai imami su minuso ženklu.

Norint lengvai rasti 4 eilės matricos determinantą, taip pat aukštesnius matmenis, būtina atsižvelgti į visų determinantų savybes:

1. Transponavus matricą, lemiama reikšmė nesikeičia.
2. Dviejų gretimų eilučių ar stulpelių sukeitimas lemia determinanto ženklo pasikeitimą.
3. Jei matricoje yra dvi lygios eilutės arba stulpeliai, arba visi stulpelio elementai (eilutės) yra lygūs nuliui, tada jo determinantas yra lygus nuliui.
4. Padauginus matricos skaičius iš bet kurio skaičiaus, jos determinantas padidės tiek pat kartų.

Naudojant minėtas savybes, tai padedabet kokios eilės matricos determinanto suradimo paprastumas. Pavyzdžiui, tam naudodamas eiliškumo mažinimo metodą, kuriame determinantas skaidomas eilutės (stulpelio) elementais, padaugintais iš algebrinio papildymo.

Kitas būdas, kuris labai supaprastina determinanto paiešką

Ir galiausiai norėčiau pažymėti, kad lemiamų veiksnių apskaičiavimas, nors ir susideda iš, atrodytų, paprastų matematinių skaičiavimų, vis dėlto reikalauja nemažo kruopštumo ir patikimumo.