Polyhedra. Polihedra veidi un to īpašības

Polyhedra ir ne tikai ievērojamaģeometrija, bet arī atrodama katra cilvēka ikdienas dzīvē. Nemaz nerunājot par mākslīgi radītiem sadzīves priekšmetiem dažādu poligonu veidā, sākot ar matchbox un beidzot ar arhitektūras elementiem, dabā ir arī kristāli kuba (sāls), prizmu (kristālu), piramīdu (scheelite), oktaedrera (dimanta) un t-veida veidā. dd

Polihedrona jēdziens, polihedra veidi ģeometrijā

Ģeometrija kā zinātne satur daļu no stereometrijas,pētot tilpuma formas īpašības un īpašības. Ģeometriskos korpusus, kuru malas trīsdimensiju telpā veido ierobežotas plaknes (sejas), sauc par "polyhedra". Polyhedra tipiem ir vairāk nekā duci pārstāvju, kas atšķiras no sejas skaita un formas.

Tomēr visiem polihedriem ir kopīgas īpašības:

1. Visiem tiem ir 3 sastāvdaļas:seja (daudzstūra virsma), virsotne (leņķi, kas veidojas vietās, kur saskaras sejas), mala (formas forma vai segments, kas veidojas divu seju krustojumā).
2. Katra daudzstūra mala savieno divas un tikai divas sejas, kas atrodas blakus.
3. Bulge nozīmē, ka ķermenis ir pilnīgiatrodas tikai vienā plaknes pusē, uz kuras atrodas viena no sejām. Noteikums attiecas uz visām polihedrona sejām. Šādas ģeometriskās formas stereometrijā sauc par terminu izliekta polyhedra. Izņēmumi ir zvaigžņu polihedra, kas iegūti no regulārām polihrēnas ģeometriskām virsmām.

Polyhedra var iedalīt:

1. Veidlapas no izliekta polihedra, kas sastāv nošādas klases: parasta vai klasiska (prizma, piramīda, paralēlskaldnis), regulāra (saukta arī par platoniskām cietvielām), daļēji pareiza (otrais nosaukums - Archimedean cietvielas).
2. Nonconvex polihedra (zvaigžņu forma).

Prisms un tā īpašības

Stereometrija kā ģeometrijas pētījumu daļatrīsdimensiju figūru īpašības, polihedra veidi (starp tiem prizma). Prizma ir ģeometrisks ķermenis, kam vienmēr ir divas pilnīgi identiskas sejas (tās sauc arī par bāzēm), kas atrodas paralēlās plaknēs, un n-s numurs sānu seju skaits paralelogrammas veidā. Savukārt prizmai ir arī vairākas šķirnes, tostarp šāda veida polihedras kā:

1. Paralēlskaldnis veidojas, ja pamatnē ir paralelograms - daudzstūris ar 2 pāriem vienādiem pretējiem leņķiem un diviem pāriem kongruentiem pretējiem sāniem.
2. Taisnai prizmai ir malas, kas ir perpendikulāras pamatnei.
3. Slīpu prizmu raksturo slīpu leņķu (izņemot 90) klātbūtne starp malām un pamatni.
4. Regulāru prizmu raksturo pamatnes regulāra daudzstūra formā ar vienādām sānu malām.

Prizmas galvenās īpašības:

• Saskanīgi pamati.
• Visas prizmas malas ir vienādas un paralēlas attiecībā pret otru.
• Visas sānu virsmas ir paralelograma formas.

Piramīda

Piramīda ir ģeometrisks ķermenis, kassastāv no vienas bāzes un n-tā trīsstūra seju skaita, kas savienotas vienā punktā - virsotnē. Jāatzīmē, ka, ja piramīdas sānu virsmas obligāti attēlo trīsstūri, tad pamatnē var būt vai nu trīsstūrveida daudzstūris, vai četrstūris, vai piecstūris utt. Bezgalīgi. Šajā gadījumā piramīdas nosaukums atbildīs daudzstūrim pamatnē. Piemēram, ja trīsstūris atrodas piramīdas pamatnē, tā ir trīsstūrveida piramīda, četrstūris ir četrstūris utt.

Piramīdas ir konusa formas daudzskaldņi. Šīs grupas daudzskaldņu veidos papildus iepriekš uzskaitītajiem ir arī šādi pārstāvji:

1. Regulāras piramīdas pamatnē ir regulārs daudzstūris, un tās augstums tiek projicēts līdz apļa centram, kas ierakstīts pamatnē vai ir ap to.
2. Taisnstūra piramīda veidojas, kad viena no sānu malām krustojas ar pamatni taisnā leņķī. Šajā gadījumā šo malu var saukt arī par piramīdas augstumu.

Piramīdas īpašības:

• Ja visas piramīdas sānu malasir saskanīgi (vienāda augstuma), tad tie visi krustojas ar pamatni vienā leņķī, un ap pamatni var uzzīmēt apli ar centru, kas sakrīt ar piramīdas augšdaļas projekciju.
• Ja piramīdas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad visas sānu malas ir saskanīgas, un sejas ir vienādsānu trijstūri.

Regulārs daudzskaldnis: daudzskaldņu veidi un īpašības

Stereometrijā īpašu vietu aizņemģeometriski ķermeņi ar absolūti vienādām sejām, kuru virsotnēs ir savienots vienāds skaits malu. Šos ķermeņus sauc par platoniskām cietām vielām vai parastajām daudzskaldnēm. Ar šādām īpašībām ir tikai pieci daudzskaldņu veidi:

1. Tetraedrs.
2. Heksaedrs.
3. Oktaedrs.
4. Dodekaedrs.
5. Icosahedron.

Regulāri daudzskaldņi ir parādā viņu vārdusengrieķu filozofam Platonam, kurš rakstos aprakstīja šos ģeometriskos ķermeņus un saistīja tos ar dabas elementiem: zemi, ūdeni, uguni, gaisu. Piektajai figūrai tika piešķirta līdzība ar Visuma struktūru. Pēc viņa domām, dabisko elementu atomi pēc formas atgādina parasto daudzskaldņu tipus. Pateicoties savai aizraujošākajai īpašībai, simetrijai, šie ģeometriskie ķermeņi ļoti interesēja ne tikai senos matemātiķus un filozofus, bet arī visu laiku arhitektus, gleznotājus un tēlniekus. Tikai 5 veidu polihedru klātbūtne ar absolūtu simetriju tika uzskatīta par fundamentālu atradumu, viņiem pat tika piešķirta saikne ar dievišķo principu.

Heksaedrs un tā īpašības

Sešstūra formas Platona pēctecisieteica līdzības ar zemes atomu struktūru. Protams, šobrīd šī hipotēze ir pilnībā atspēkota, kas tomēr netraucē mūsdienu laikmeta figūrām ar savu estētiku piesaistīt slavenu personu prātus.

Ģeometrijā tiek uzskatīts sešstūris jeb aka kubsīpašs paralēlskaldņa gadījums, kas savukārt ir sava veida prizma. Attiecīgi kuba īpašības ir saistītas ar prizmas īpašībām tikai ar to atšķirību, ka visas kuba sejas un leņķi ir vienādi. No tā izriet šādas īpašības:

1. Visas kuba malas ir vienādas un atrodas paralēlās plaknēs attiecībā pret otru.
2. Visas sejas ir saskanīgi kvadrāti (kubā ir 6 no tiem), no kuriem jebkuru var uzskatīt par pamatu.
3. Visi šķautņu leņķi ir 90.
4. No katras virsotnes izdalās vienāds skaits malu, proti, 3.
5. Kubam ir 9 simetrijas asis, kas visas krustojas sešstūra diagonāļu krustpunktā, ko sauc par simetrijas centru.

Tetraedrs

Tetraedrs ir tetraedrs ar vienādām sejām trijstūru formā, kuru katra virsotne ir trīs seju savienojuma punkts.

Parastā tetraedra īpašības:

1. Visas tetraedra sejas ir vienādmalu trijstūri, kas nozīmē, ka visas tetraedra sejas ir vienādas.
2. Tā kā pamatni attēlo regulāra ģeometriska figūra, tas ir, tai ir vienādas malas, tad tetraedra sejas saplūst vienā un tajā pašā leņķī, tas ir, visi leņķi ir vienādi.
3. Plakano leņķu summa katrā virsotnē ir 180, jo visi leņķi ir vienādi, tad jebkura regulārā tetraedra leņķis ir 60.
4. Katra no virsotnēm tiek projicēta pretējās (ortocentras) sejas augstumu krustošanās punktā.

Oktaedrs un tā īpašības

Aprakstot parasto polihedru veidus, nevar nepamanīt tādu objektu kā oktaedru, kuru vizuāli var attēlot kā divas četrstūra formas regulāras piramīdas, kas salīmētas kopā ar pamatnēm.

Oktaedra īpašības:

1. Pats ģeometriskā ķermeņa nosaukums liecinatās seju skaits. Oktaedrs sastāv no 8 vienādiem vienādmalu trijstūriem, pie kuriem katrā virsotnē saplūst vienāds seju skaits, proti, 4.
2. Tā kā visas oktaedra sejas ir vienādas, arī tā starpslāņu leņķi ir vienādi, katrs no tiem ir 60, un jebkuras virsotnes plakano leņķu summa ir 240.

Dodekaedrs

Ja mēs iedomājamies, ka visas ģeometriskā ķermeņa sejas ir parasts piecstūris, mēs iegūstam dodekaedru - 12 daudzstūru skaitli.

Dodekaedru īpašības:

1. Katrā virsotnē krustojas trīs sejas.
2. Visas sejas ir vienādas, tām ir vienāds malu garums un laukums.
3. Dodekahedronam ir 15 asis un simetrijas plaknes, un jebkura no tām iet caur sejas virsotni un tai pretējās malas vidusdaļu.

Icosahedron

Ne mazāk interesants kā dodekaedrs, ikosaedra figūra ir trīsdimensiju ģeometrisks ķermenis ar 20 vienādām sejām. Starp parastā divdesmit hedrona īpašībām ir šādas:

1. Visas ikosaedra sejas ir vienādsānu trijstūri.
2. Katrā daudzstūra virsotnē saplūst piecas sejas, un blakus esošo virsotņu leņķu summa ir 300.
3. Ikosaedram, tāpat kā dodekaedram, ir 15 asis un simetrijas plaknes, kas iet caur pretējo seju viduspunktiem.

Pusregulāri daudzstūri

Papildus platoniskajām cietajām vielām izliekta grupaPolihedros ietilpst arī Arhimēda cietvielas, kas ir saīsinātas parastās daudzskaldnes. Šīs grupas daudzskaldņu veidiem ir šādas īpašības:

1. Ģeometriskajiem ķermeņiem ir pāri vienādas sejasvairāku veidu, piemēram, saīsinātam tetraedram, tāpat kā parastajam tetraedram, ir 8 sejas, bet Arhimēda cietās daļas gadījumā 4 sejas būs trīsstūrveida un 4 sešstūra formas.
2. Visi vienas virsotnes leņķi ir vienādi.

Stellated daudzskaldnis

Ģeometrisko ķermeņu ne-tilpuma tipu pārstāvji- zvaigžņu polihedra, kuras sejas krustojas viena ar otru. Tos var veidot, apvienojot divus regulārus trīsdimensiju ķermeņus vai izplešot to sejas.

Tādējādi šādas apzīmētas daudzskaldnes ir pazīstamas kā: zvaigznīts oktaedrs, dodekaedrs, ikozaedrs, kuboktaedrs, ikozidodekaedrs.