Seria Maclaurina i dekompozycja niektórych funkcji

Studenci matematyki wyższej powinni być tego świadomiże suma pewnej serii mocy należącej do przedziału zbieżności danej serii jest ciągłą i nieograniczoną liczbą funkcji zróżnicowanych. Powstaje pytanie: czy można stwierdzić, że dana dowolna funkcja f (x) jest sumą pewnego szeregu mocy? To znaczy, w jakich warunkach f-ia f (x) może być przedstawiany jako szereg mocy? Znaczenie tego pytania polega na tym, że można w przybliżeniu zastąpić ffcf (x) sumą pierwszych kilku terminów szeregu mocy, to znaczy wielomianu. Takie zastąpienie funkcji raczej prostym wyrażeniem - wielomianem - jest również wygodne do rozwiązywania niektórych problemów analizy matematycznej, a mianowicie: podczas rozwiązywania całek, obliczania równań różniczkowych itp.

Udowodniono, że dla niektórych f-ii f (x), w których możliwe jest obliczenie pochodnych do (n + 1) -tego rzędu, w tym ostatniego, w sąsiedztwie (α - R; x₀ + R) w jakimś punkcie х = α, obowiązuje następujący wzór:

Ta formuła nosi imię słynnego naukowca Brooke Taylor. Seria otrzymana z poprzedniej nazywa się serią Maclaurin:

Reguła, która umożliwia tworzenie rozkładu w serii Maclaurina:

1. Określ pochodne pierwszego, drugiego, trzeciego ... zamówienia.
2. Oblicz, czemu są równe pochodne przy x = 0.
3. Zapisz szereg Maclaurina dla tej funkcji, a następnie określ przedział jego zbieżności.
4. Określ przedział (-R; R), w którym pozostała część wzoru Maclaurina

P._Pan(x) -> 0 jako n -> nieskończoność. Jeśli taka istnieje, funkcja f (x) w niej musi pokrywać się z sumą szeregu Maclaurina.

Rozważmy teraz szereg Maclaurina dla poszczególnych funkcji.

1. Zatem pierwszym będzie f (x) = e^x... Oczywiście, dzięki swoim osobliwościom, taka funkcja ma pochodne różnych rzędów i f^(k)(x) = e^z, gdzie k równa się wszystkim liczbom naturalnym. Zastąp x = 0. Otrzymujemy f^(k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Na podstawie powyższego szereg e^x będzie wyglądać tak:

2. Szereg Maclaurina dla funkcji f (x) = sin x. Wyjaśnijmy od razu, że funkcja dla wszystkich niewiadomych będzie miała pochodne; ponadto f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^„”(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(k)(x) = sin (x + k * n / 2), gdzie k równa się dowolnej liczbie naturalnej. Oznacza to, że po wykonaniu prostych obliczeń możemy dojść do wniosku, że szereg dla f (x) = sin x będzie miał następującą postać:

3. Spróbujmy teraz rozważyć f-ju f (x) = cos x. Dla wszystkich niewiadomych ma pochodne dowolnego rzędu i | f^(k)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Ponownie, po wykonaniu pewnych obliczeń, otrzymujemy, że szereg dla f (x) = cos x będzie wyglądał następująco:

Dlatego wymieniliśmy najważniejsze funkcje, któremożna rozszerzyć do serii Maclaurin, ale są one uzupełniane przez szereg Taylora dla niektórych funkcji. Teraz je też wymienimy. Warto również zauważyć, że serie Taylora i Maclaurina są ważną częścią warsztatów rozwiązywania szeregów w matematyce wyższej. A więc stopnie Taylora.

1. Pierwsza będzie szeregiem dla f-ii f (x) = ln (1 + x).Podobnie jak w poprzednich przykładach, dla danego f (x) = ln (1 + x), możemy dodać szereg, używając ogólnej postaci szeregu Maclaurina. jednakże serię Maclaurin można uzyskać znacznie prościej dla tej funkcji. Całkując pewien szereg geometryczny, otrzymujemy szereg dla f (x) = ln (1 + x) takiej próbki:

2. Drugim, ostatnim w naszym artykule, będzie szereg dla f (x) = arctan x. Dla x należącego do przedziału [-1; 1] rozkład jest prawidłowy:

To wszystko. W artykule przeanalizowano najczęściej używane serie Taylora i Maclaurina w matematyce wyższej, w szczególności na uczelniach ekonomicznych i technicznych.