Studium vyšší matematiky by mělo být známé,že součet výkonových řad patřících do intervalu konvergence dané série je diferenciální funkce, která je kontinuální a nekonečně mnohokrát odlišná. Vyvstává otázka: je možné tvrdit, že daná libovolná funkce f (x) je součtem série výkonů? To znamená, za jakých podmínek může být f-th f (x) reprezentována výkonovou řadou? Důležitost takové otázky spočívá v tom, že je možné přibližně nahradit f (x) součtem několika prvních termínů řady výkonů, tj. Polynomu. Taková náhrada funkce spíše jednoduchým výrazem - polynomem - je také vhodná při řešení určitých problémů matematické analýzy, a to: při řešení integrálů, při výpočtu diferenciálních rovnic a tak dále.
Je dokázáno, že z nějakého f-ii f (x), vyznačující se tím, že deriváty (n + 1) tý, aby se může vypočítat, včetně nejnovější v blízkosti (a - R; x0 + R) nějakého bodu x = α platí následující vzorec:
Pravidlo, které umožňuje rozložit se do série Maclaurin:
PPane(x) -> 0 jako n -> nekonečno. V případě, že existuje, musí být funkce f (x) v ní shodovat se součtem série Maclaurin.
Nyní považujeme série Maclaurin za jednotlivé funkce.
1. Tedy první je f (x) = ex. Samozřejmě, pokud jde o jeho singularity, má tato funkce deriváty velmi odlišných pořadí a f(k)(x) = es, kde k se rovná všem přirozeným číslům. Nahrazujeme x = 0. Získáváme f(k)(0) = e0= 1, k = 1,2 ... Vycházeje z výše uvedeného řady ex bude vypadat takto:
Takže jsme uvedli nejdůležitější funkcemohou být rozloženy do řady Maclaurin, ale pro některé funkce jsou doplněny řadou Taylor. Nyní je seznamujeme. Je také třeba poznamenat, že série Taylor a Maclaurin jsou důležitou součástí semináře pro řešení sérií ve vyšší matematice. Takže v seriálu Taylor.
1. První je řada pro funkci f (x) = ln (1 + x).Stejně jako v předchozích příkladech pro danou f (x) = ln (1 + x) můžeme přidat sérii pomocí obecné formy série Maclaurin. Nicméně pro tuto funkci lze série Maclaurin získat mnohem jednodušeji. Začleněním některých geometrických řad získáváme řadu f (x) = ln (1 + x) takového vzorku:
2. A druhý, který bude v naší práci konečný, bude série pro f (x) = arctg x. Pro x patřící do intervalu [-1; 1] je platnost rozšíření platná:
To je všechno. V tomto článku byly zvažovány nejčastěji používané série Taylora a Maclaurina ve vyšší matematice, zejména v ekonomických a technických univerzitách.