Leonard Euler (1707-1783) - berühmter Schweizerund ein russischer Mathematiker, ein Mitglied der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften, lebte den größten Teil seines Lebens in Russland. Der bekannteste in den Bereichen Mathematik, Statistik, Informatik und Logik ist der Euler-Kreis (Euler-Venn-Diagramm), mit dem das Volumen von Begriffen und Elementmengen angegeben wird.
John Venn (1834-1923) - Englischer Philosoph und Logiker, Mitautor des Euler-Venn-Diagramms.
Под понятием в логике подразумевается форма Denken, das die wesentlichen Merkmale einer Klasse homogener Objekte widerspiegelt. Sie werden durch ein Wort oder eine Gruppe von Wörtern bezeichnet: "Weltkarte", "dominante Quintseptakkord", "Montag" usw.
In dem Fall, wenn die Volumenelemente eines Konzeptsganz oder teilweise zum Band eines anderen gehören, über kompatible Konzepte sprechen. Wenn nicht ein einzelnes Element des Volumens eines bestimmten Konzepts zum Volumen eines anderen gehört, haben wir einen Ort mit inkompatiblen Konzepten.
Jede Art von Konzepten hat wiederum ihre eigenen möglichen Beziehungen. Für kompatible Konzepte sind dies die folgenden:
Für inkompatibel:
Schematisch werden die Beziehungen zwischen Begriffen in der Logik gewöhnlich durch Euler-Venn-Kreise bezeichnet.
In diesem Fall bedeuten die Konzepte dasselbe. Dementsprechend stimmen die Volumina dieser Konzepte vollständig überein. Zum Beispiel:
A - Sigmund Freud;
B ist der Begründer der Psychoanalyse.
Oder:
A ist das Quadrat;
B ist ein gleichseitiges Rechteck;
C ist eine gleichwinklige Raute.
Für die Bezeichnung werden völlig übereinstimmende Eulerkreise verwendet.
Diese Kategorie umfasst Konzepte mit gemeinsamen Elementen, die sich auf die Frequenzweiche beziehen. Das heißt, das Volumen eines der Konzepte ist teilweise im Volumen des anderen enthalten:
A - Lehrer;
In - Musikliebhaber.
Wie aus diesem Beispiel hervorgeht, ist der Umfang der Konzepteteilweise zusammenfallen: eine bestimmte Gruppe von Lehrern kann sich als Musikliebhaber herausstellen und umgekehrt - unter Musikliebhabern können sich Vertreter des pädagogischen Berufs befinden. Eine ähnliche Haltung wird es zum Beispiel geben, wenn „Stadtbewohner“ als Konzept und „Autofahrer“ als B fungieren.
Schematisch als unterschiedlich bezeichnet.Euler Kreise. Die Beziehungen zwischen den Begriffen sind in diesem Fall dadurch gekennzeichnet, dass der untergeordnete Begriff (kleineres Volumen) vollständig im untergeordneten Begriff (größeres Volumen) enthalten ist. Darüber hinaus erschöpft der untergeordnete Begriff den untergeordneten nicht vollständig.
Zum Beispiel:
A ist ein Baum;
In - Kiefer.
Konzept B wird Konzept A untergeordnet. Da sich Kiefer auf Bäume bezieht, wird Konzept A in diesem Beispiel zu einem Untergebenen, das das Volumen von Konzept B „aufnimmt“.
Die Beziehung kennzeichnet zwei oder mehr Konzepte, die sich gegenseitig ausschließen, aber gleichzeitig zu einem bestimmten gemeinsamen Stammeskreis gehören. Zum Beispiel:
A - Klarinette;
In - eine Gitarre;
C ist die Geige;
D ist ein Musikinstrument.
Konzepte A, B, C überschneiden sich nicht, sie gehören jedoch alle zur Kategorie der Musikinstrumente (Konzept D).
Gegensätzliche Beziehungen zwischen Begriffenimplizieren, dass diese Konzepte mit derselben Gattung verwandt sind. In diesem Fall weist eines der Konzepte bestimmte Eigenschaften (Zeichen) auf, während das andere diese ablehnt und das Gegenteil in der Natur ersetzt. Wir haben es also mit Antonyme zu tun. Zum Beispiel:
A ist ein Zwerg;
B ist ein Riese.
In der umgekehrten Beziehung zwischen Begriffen ist der Eulerkreis in drei Segmente unterteilt, von denen das erste dem Begriff A, das zweite dem Begriff B und das dritte allen anderen möglichen Begriffen entspricht.
In diesem Fall sind beide KonzepteArten der gleichen Gattung. Wie im vorherigen Beispiel zeigt eines der Konzepte bestimmte Eigenschaften (Zeichen) an, während das andere diese negiert. Im Gegensatz zur Beziehung der Gegensätze ersetzt das zweite, entgegengesetzte Konzept die verweigerten Eigenschaften jedoch nicht durch andere alternative Eigenschaften. Zum Beispiel:
A ist eine schwierige Aufgabe;
B ist eine einfache Aufgabe (nicht A).
Das Volumen derartiger Konzepte ausdrücken, Eulers Kreisaufgeteilt in zwei Teile - der dritte, zwischenliegende Link existiert in diesem Fall nicht. Begriffe sind also auch Antonyme. Gleichzeitig wird einer von ihnen (A) positiv (Bestätigung eines beliebigen Zeichens) und der zweite (B oder Nicht-A) negativ (Ablehnung des entsprechenden Zeichens): „Weißbuch“ - „Nicht Weißbuch“, „Russische Geschichte“ - "fremde Geschichte" usw.
Das Verhältnis der Volumen von Begriffen zueinander ist somit eine Schlüsseleigenschaft, die Eulerkreise definiert.
Sie sollten auch zwischen den Begriffen der Elemente und unterscheidenSätze, deren Volumen durch Eulerkreise dargestellt wird. Das Konzept einer Menge ist aus der Mathematik entlehnt und hat eine ziemlich breite Bedeutung. Beispiele in Logik und Mathematik zeigen es als eine bestimmte Sammlung von Objekten. Die Objekte selbst sind Elemente dieser Menge. „Viel ist viel, was man sich vorstellen kann“ (Georg Cantor, Begründer der Mengenlehre).
Die Bezeichnung von Mengen wird großgeschriebenBuchstaben: A, B, C, D ... usw., Elemente von Sätzen - Kleinbuchstaben: a, b, c, d ... usw. Beispiele für Sätze können Schüler im selben Klassenzimmer sein, Bücher, die in einem bestimmten Regal stehen ( oder zum Beispiel alle Bücher in einer bestimmten Bibliothek), Seiten in einem Tagebuch, Beeren in einer Waldlichtung usw.
Ist wiederum ein bestimmter Satz nichtenthält keine Elemente, heißt leer und ist mit dem Zeichen Ø gekennzeichnet. Zum Beispiel die Menge der Schnittpunkte paralleler Linien, die Menge der Lösungen der Gleichung x2 = -5.
Eine Vielzahl von Aufgaben aktiv zu lösenEs werden Eulerkreise verwendet. Beispiele in der Logik zeigen deutlich den Zusammenhang von logischen Operationen mit der Mengenlehre. In diesem Fall werden Wahrheitstabellen von Konzepten verwendet. Zum Beispiel repräsentiert der mit dem Namen A bezeichnete Kreis einen Bereich der Wahrheit. Somit stellt der Bereich außerhalb des Kreises eine Lüge dar. Um den Bereich des Diagramms für eine logische Operation zu bestimmen, schattieren Sie die Bereiche, die den Eulerkreis definieren, in dem seine Werte für die Elemente A und B wahr sind.
Die Verwendung von Eulerkreisen fand große Verbreitungpraktische Anwendung in verschiedenen Branchen. Zum Beispiel in einer professionellen Entscheidungssituation. Wenn das Fach über die Wahl eines zukünftigen Berufes besorgt ist, kann es sich an folgenden Kriterien orientieren:
W - was mache ich gerne?
D - was bekomme ich?
P - wie kann ich gutes Geld verdienen?
Stellen wir dies in Form eines Diagramms dar: Eulerkreise (Beispiele in der Logik sind die Schnittmengenrelation):
Das Ergebnis werden jene Berufe sein, die sich am Schnittpunkt aller drei Kreise befinden.
Euler-Venn-Kreise nehmen einen gesonderten Platz in einMathematik (Mengenlehre) zur Berechnung von Kombinationen und Eigenschaften. Eulerkreise der Elementmenge sind im Bild eines Rechtecks eingeschlossen, das die universelle Menge (U) bezeichnet. Anstelle von Kreisen können auch andere geschlossene Figuren verwendet werden, deren Wesen sich jedoch nicht ändert. Die Zahlen überschneiden sich je nach den Bedingungen des Problems (im allgemeinsten Fall). Auch diese Zahlen sind entsprechend zu kennzeichnen. Als Elemente der betrachteten Mengen können Punkte fungieren, die sich in verschiedenen Segmenten des Diagramms befinden. Auf ihrer Basis können bestimmte Bereiche schraffiert werden, wodurch neu gebildete Mengen bezeichnet werden.
Mit diesen Sets ist die Ausführung erlaubtGrundlegende mathematische Operationen: Addition (die Summe der Mengen von Elementen), Subtraktion (Differenz), Multiplikation (Produkt). Zusätzlich ist es dank der Euler-Venn-Diagramme möglich, Operationen zum Vergleichen von Mengen nach der Anzahl der darin enthaltenen Elemente durchzuführen, ohne sie zu zählen.
