Mikä on ehdollista todennäköisyyttä ja kuinka laskea se oikein?

Usein elämässä kohtaamme mitä tarvitsemmearvioi tapahtuman mahdollisuus. Onko sen arvoinen ostaa lottokortti vai ei, mikä on perheen kolmannen lapsen sukupuoli, onko sää huomenna selkeä vai sataa taas - lukemattomia esimerkkejä voidaan mainita. Yksinkertaisimmassa tapauksessa myönteisten tulosten lukumäärä tulisi jakaa tapahtumien kokonaismäärällä. Jos arvonnassa on 10 voittajalippua ja yhteensä 50, silloin mahdollisuudet palkintoon ovat 10/50 = 0,2, eli 20 vastaan ​​100. Mutta entä jos tapahtumia on useita ja ne liittyvät läheisesti toisiinsa? Tässä tapauksessa meitä ei enää kiinnosta yksinkertainen, vaan ehdollisuus. Mikä tämä arvo on ja kuinka se voidaan laskea - siitä keskustellaan artikkelissamme.

Käsite

Ehdollinen todennäköisyys on tapahtuman mahdollisuustietty tapahtuma, edellyttäen että toinen asiaan liittyvä tapahtuma on jo tapahtunut. Mieti yksinkertaista kolikonheittoesimerkkiä. Jos arvontaa ei ollut, niin kotkan tai hännän menettämismahdollisuudet ovat samat. Mutta jos viisi kertaa peräkkäin kolikko asetettiin tunnuksen kanssa ylöspäin, suostukaa odottamaan, että tällaisen lopputuloksen toistaminen kuudes, seitsemäs ja erityisesti kymmenes olisi epäloogista. Jokaisen toistuvan kotkamenetyksen myötä hännän ulkonäkö kasvaa ja ennemmin tai myöhemmin se putoaa.

Ehdollinen todennäköisyyskaava

Otetaan nyt selville, kuinka tämä määrälaskettu. Merkitsemme ensimmäistä tapahtumaa B: llä ja toista A. Jos B: n alkamismahdollisuudet eivät ole nolla, seuraava tasa-arvo on totta:

P (A | B) = P (AB) / P (B), missä:

• P (A | B) - kokonais A: n ehdollinen todennäköisyys;
• P (AB) on tapahtumien A ja B yhteisen esiintymisen todennäköisyys;
• P (B) on tapahtuman B todennäköisyys.

Muuttamalla hiukan tätä suhdetta, saadaan P (AB) = P (A | B) * P (B). Ja jos käytät induktiomenetelmää, voit johtaa tuotteen kaavan ja käyttää sitä mielivaltaiseen määrään tapahtumia:

P (A₁, A₂, A₃... Ja_n) = P (A₁| A₂... Ja_n) * P (A₂| A₃... Ja_n) * P (A₃| A₄... Ja_n) ... P (A_n-1| A_n) * P (A_n).

käytäntö

Jotta on helpompi selvittää mitentapahtuman ehdollinen todennäköisyys lasketaan; harkitse muutamaa esimerkkiä. Oletetaan, että on maljakko, jossa on 8 suklaata ja 7 rahapajaa. Ne ovat kooltaan samanlaisia ​​ja kaksi niistä on sattumanvaraisesti vedetty satunnaisesti. Mitkä ovat mahdollisuudet, että molemmat osoittautuvat suklaaksi? Esittelemme merkinnän. Olkoon tulos A tarkoittaa, että ensimmäinen karkki on suklaata, tulos B on toinen suklaamake. Sitten saamme seuraavat:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 - 0,27

Harkitse toista tapausta. Oletetaan, että on kahden lapsen perhe ja tiedämme, että ainakin yksi lapsi on tyttö.

Mikä on ehdollinen todennäköisyys, joka pojilla oneikö vielä ole vanhempia? Kuten edellisessä tapauksessa, aloitamme merkinnällä. Olkoon P (B) todennäköisyys, että perheessä on ainakin yksi tyttö, P (A | B) on todennäköisyys, että toinen lapsi on myös tyttö, P (AB) on todennäköisyys, että perheessä on kaksi tyttöä. Nyt tee laskelmat. Lasten sukupuolesta voi olla yhteensä 4 erilaista yhdistelmää, ja tässä tapauksessa vain yhdessä tapauksessa (kun perheessä on kaksi poikaa), lasten joukossa ei ole tyttöä. Siksi todennäköisyys P (B) = 3/4 ja P (AB) = 1/4. Sitten saamme kaavan mukaisesti:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Tulos voidaan tulkita seuraavasti:Jos emme olisi tietoisia yhden lapsen sukupuolesta, kahden tytön mahdollisuudet olisivat 25 vs. 100. Mutta koska tiedämme, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys, että perheessä ei ole poikia, nousee kolmannekseen.