Ongelmat, jotka johtavat kaksinkertaisen integraalin käsitteeseen.
- Anna tasomateriaalinlevyn, jonka tiheys tunnetaan jokaisessa pisteessä. Meidän on löydettävä tämän levyn massa. Koska tällä levyllä on selkeät mitat, se voidaan sulkea suorakulmioon. Levyn tiheys voidaan myös ymmärtää seuraavasti: niissä suorakulmion pisteissä, jotka eivät kuulu levyyn, oletetaan, että tiheys on nolla. Asetetaan yhtenäinen osio samaan määrään hiukkasia. Siten annettu muoto jaetaan alkuainekulmioihin. Harkitse yhtä näistä suorakulmioista. Valitse mikä tahansa suorakulmion kohta. Tällaisen suorakulmion pienen koon vuoksi oletamme, että tiheys kussakin tämän suorakulmion kohdassa on vakio. Sitten tällaisen suorakulmaisen hiukkasen massa määritetään kertomalla tiheys tässä kohdassa suorakulmion pinta-alalla. Alue, kuten tiedät, on suorakulmion pituuden kertominen sen leveydellä. Ja koordinaattitasossa tämä on muutos tietyllä askeleella. Sitten koko levyn massa on näiden suorakulmioiden massojen summa. Jos menet rajalle tässä suhteessa, saat tarkan suhteen.
- Määritetään paikkakunta, joka on rajoitettualkuperä ja jokin toiminto. Sinun on löydettävä määritetyn rungon tilavuus. Kuten edellisessä tapauksessa, jaa alue suorakulmioiksi. Oletetaan, että pisteissä, jotka eivät kuulu alueeseen, funktio on yhtä suuri kuin 0. Tarkastellaan yhtä suorakulmaisista osioista. Piirrä tämän suorakulmion sivujen läpi tasoja, jotka ovat kohtisuorassa abscissan kanssa, ja suuntaavat akseleita. Saamme suuntaissärmiön, jonka rajaa alhaalta taso suhteessa sovellettavaan akseliin, ja ylhäältä funktio, joka määritettiin ongelmalausekkeessa. Valitse piste suorakulmion keskeltä. Tämän suorakulmion pienen koon vuoksi voidaan olettaa, että tämän suorakulmion funktiolla on vakioarvo, jolloin suorakulmion tilavuus voidaan laskea. Ja kuvan tilavuus on yhtä suuri kuin kaikkien tällaisten suorakulmioiden tilavuudet. Saadaksesi tarkan arvon, sinun on mentävä rajalle.
Kuten tehtävistä voidaan nähdä, olemme kussakin esimerkissä tulleet siihen tulokseen, että erilaiset tehtävät johtavat samantyyppisten kaksinkertaisten summien tarkasteluun.
Kaksinkertaiset integraaliset ominaisuudet.
Asetetaan tehtävä. Annetaan kahden muuttujan funktio antaa jossakin suljetussa verkkotunnuksessa, ja annettu funktio on jatkuva. Koska alue on rajallinen, voit sijoittaa sen mihin tahansa suorakulmioon, joka sisältää täysin tietyn alueen pisteen ominaisuudet. Jaa suorakulmio yhtä suureen osaan. Kutsutaan halkaisijan suurimmaksi diagonaaliksi tuloksena olevia suorakulmioita. Valitse nyt piste yhden tällaisen suorakulmion rajoista. Jos löydät tässä kohdassa arvon summaavan summan, tätä summaa kutsutaan funktion integraaliksi annetulla alueella. Löydetään tällaisen integraalisen summan raja olosuhteissa, joissa jaon halkaisija seuraa 0: ta ja suorakulmioiden lukumäärä - ääretön. Jos tällainen raja on olemassa eikä se riipu menetelmästä, jolla alue jaetaan suorakulmioihin, ja pisteen valinnasta, niin sitä kutsutaan kaksoisintegraaliksi.
Kaksoisintegraalin geometrinen sisältö: kaksoisintegraali on numeerisesti yhtä suuri kuin rungon tilavuus, joka kuvattiin tehtävässä 2.
Kun tiedät kaksoisintegraalin (määritelmän), voit asettaa seuraavat ominaisuudet:
- Vakio voidaan viedä integraalimerkin ulkopuolelle.
- Summan (eron) integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa (ero).
- Pienempi funktio on se, jonka kaksoisintegraali on pienempi.
- Moduuli voidaan syöttää kaksinkertaisen integraalimerkin alle.
