Poliedri. Vrste poliedra i njihova svojstva

Poliedri ne samo da imaju istaknuto mjesto ugeometrija, ali se također nalazi u svakodnevnom životu svake osobe. A da ne spominjemo umjetno stvorene predmete za kućanstvo u obliku raznih poligona, od kutije šibica do arhitektonskih elemenata, kristali u obliku kocke (sol), prizme (kristal), piramide (sheelit), oktaedri (dijamant) itd. Su također se nalazi u prirodi. .d.

Pojam poliedra, vrste poliedra u geometriji

Geometrija kao znanost sadrži odjeljak o stereometriji,proučavanje karakteristika i svojstava trodimenzionalnih figura. Geometrijska tijela, čije su stranice u trodimenzionalnom prostoru oblikovane ograničenim ravninama (licima), nazivaju se "poliedri". Vrste poliedra imaju više od desetak predstavnika, koji se razlikuju po broju i obliku lica.

Ipak, svi poliedri imaju zajednička svojstva:

1. Svi oni imaju 3 integralne komponente:lice (ploha mnogougla), vrh (kutovi nastali na spoju lica), rub (strana lika ili segment oblikovan na spoju dviju ploha).
2. Svaki rub poligona povezuje dvije, i to samo dvije, lica koja su susjedna jedna drugoj.
3. Izbočina znači da je tijelo potpunosmještene samo na jednoj strani ravnine na kojoj leži jedno od lica. Pravilo se odnosi na sva lica poliedra. Takvi geometrijski oblici u stereometriji nazivaju se konveksni poliedri. Iznimka su zvjezdani poliedri koji su derivati ​​pravilnih poliedarskih geometrijskih tijela.

Poliedre možemo grubo podijeliti na:

1. Vrste konveksnih poliedra koji se sastoje odsljedećih klasa: obične ili klasične (prizma, piramida, paralelepiped), pravilne (koje se nazivaju i platonskim čvrstim tijelima), polupravilne (drugi naziv je Arhimedove čvrste tvari).
2. Nekonveksni poliedri (zvjezdasti).

Prizma i njena svojstva

Stereometrija kao grana studija geometrijesvojstva trodimenzionalnih likova, vrste poliedra (prizma među njima). Geometrijsko tijelo naziva se prizma, koja nužno ima dvije potpuno identične plohe (nazivaju se i bazama) koje leže u paralelnim ravninama i n-ti broj bočnih stranica u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizma također ima nekoliko vrsta, uključujući takve vrste poliedra kao što su:

1. Paralelepiped nastaje ako se u osnovi nalazi paralelogram - mnogougao s 2 para jednakih suprotnih kutova i dva para sukladnih suprotnih stranica.
2. Ravna prizma ima rubove okomite na bazu.
3. Kosu prizmu karakterizira prisutnost kosih kutova (osim 90) između rubova i baze.
4. Pravilnu prizmu karakteriziraju baze u obliku pravilnog mnogougla s jednakim bočnim bridovima.

Glavna svojstva prizme:

• Sukladni temelji.
• Svi su rubovi prizme jednaki i paralelni jedni prema drugima.
• Sve bočne plohe su u obliku paralelograma.

piramida

Piramida je geometrijsko tijelo kojesastoji se od jedne baze i od n-tog broja trokutastih ploha povezanih u jednoj točki - tjemenu. Treba imati na umu da ako su bočne stranice piramide nužno predstavljene trokutima, tada u osnovi može biti ili trokutasti poligon, ili četverokut, ili peterokut, i tako dalje ad infinitum. U tom će slučaju naziv piramide odgovarati mnogouglu u osnovi. Na primjer, ako trokut leži u osnovi piramide, to je trokutasta piramida, četverokut je četverokut i tako dalje.

Piramide su poliedri u obliku konusa. Vrste poliedra ove skupine, osim gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:

1. Pravilna piramida u osnovi ima pravilni poligon, a visina joj se projicira na središte kruga upisanog u podnožje ili opisanog oko njega.
2. Pravokutna piramida nastaje kad se jedan od bočnih bridova presiječe s osnovom pod pravim kutom. U ovom se slučaju ovaj rub također može nazvati visinom piramide.

Svojstva piramide:

• Ako su svi bočni rubovi piramidesu podudarni (iste visine), tada se svi sijeku s bazom pod istim kutom, a oko baze možete nacrtati krug sa središtem koji se podudara s projekcijom vrha piramide.
• Ako pravilni poligon leži u osnovi piramide, tada su svi bočni bridovi podudarni, a lica jednakokračni trokuti.

Pravilni poliedar: vrste i svojstva poliedra

U stereometriji posebno mjesto zauzimageometrijska tijela s apsolutno jednakim licima, na čijim su vrhovima povezani isti broj bridova. Ta se tijela nazivaju platonskim čvrstim tijelima ili pravilnim poliedrima. Postoji samo pet vrsta poliedra s takvim svojstvima:

1. Tetraedar.
2. Heksahedron.
3. Oktaedar.
4. Dodekaedar.
5. Ikosaedar.

Redovni poliedri svoje ime dugujustarogrčkom filozofu Platonu, koji je u svojim spisima opisao ta geometrijska tijela i povezao ih s prirodnim elementima: zemljom, vodom, vatrom, zrakom. Peti lik dobio je sličnost sa strukturom svemira. Prema njegovu mišljenju, atomi prirodnih elemenata u obliku nalikuju vrstama pravilnih poliedra. Zbog svog najuzbudljivijeg svojstva, simetrije, ta su geometrijska tijela bila od velikog interesa ne samo drevnih matematičara i filozofa, već i arhitekata, slikara i kipara svih vremena. Prisutnost samo 5 vrsta poliedra s apsolutnom simetrijom smatrana je temeljnim nalazom, čak im je dodijeljena veza s božanskim principom.

Heksaedar i njegova svojstva

Nasljednici Platona u obliku šesterokutasugerirao sličnosti sa strukturom atoma zemlje. Naravno, trenutno je ta hipoteza u potpunosti opovrgnuta, što, međutim, ne sprječava likove u moderno doba da svojom estetikom privuku umove poznatih likova.

U geometriji se smatra heksaedrom, zvanim i kockaposeban slučaj paralelepipeda, koji je pak svojevrsna prizma. U skladu s tim, svojstva kocke povezana su sa svojstvima prizme s tom jedinom razlikom što su sva lica i kutovi kocke međusobno jednaki. Slijede sljedeća svojstva:

1. Svi rubovi kocke su podudarni i leže u paralelnim ravninama jedan prema drugom.
2. Sva su lica podudarni kvadratići (u kocki ih ima 6), od kojih se svaki može uzeti kao osnova.
3. Svi fasetni kutovi su 90.
4. Iz svakog vrha proizlazi jednak broj bridova, naime 3.
5. Kocka ima 9 osi simetrije, koje se sve sijeku na presjeku dijagonala heksaedra, nazvanog središtem simetrije.

Tetraedar

Tetraedar je tetraedar s jednakim plohama u obliku trokuta, čiji je svaki tjeme spojna točka triju ploha.

Svojstva pravilnog tetraedra:

1. Sva su lica tetraedra jednakostranični trokuti, što znači da su sva lica tetraedra sukladna.
2. Budući da je baza predstavljena pravilnim geometrijskim likom, odnosno ima jednake stranice, tada se plohe tetraedra konvergiraju pod istim kutom, odnosno svi su kutovi jednaki.
3. Zbroj ravnih kutova na svakom od vrhova je 180, budući da su svi kutovi jednaki, tada je bilo koji kut pravilnog tetraedra 60.
4. Svaki od vrhova projicira se na točku presjeka visina suprotne (ortocentra) plohe.

Oktaedar i njegova svojstva

Opisujući vrste pravilnih poliedra, ne može se ne primijetiti takav objekt kao što je oktaedar, koji se može vizualno predstaviti u obliku dvije četverokutne pravilne piramide zalijepljene bazama.

Svojstva oktaedra:

1. Sam naziv geometrijskog tijela sugerirabroj njegovih lica. Oktaedar se sastoji od 8 podudarnih jednakostraničnih trokuta na čijim se vrhovima konvergira jednak broj lica, naime 4.
2. Budući da su sve površine oktaedra jednake, jednaki su i njegovi međufasetni kutovi, od kojih je svaki 60, a zbroj ravnih kutova bilo kojeg vrha iznosi, dakle, 240.

Dodekaedar

Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela pravilni peterokut, dobit ćemo dodekaedar - lik od 12 poligona.

Svojstva dodekaedra:

1. Tri se lica sijeku na svakom vrhu.
2. Sva su lica jednaka i imaju jednaku duljinu i površinu ruba.
3. Dodekaedar ima 15 osi i ravnina simetrije, a bilo koja od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu ruba nasuprot njemu.

Ikosaedar

Ništa manje zanimljiv od dodekaedra, lik ikosaedra trodimenzionalno je geometrijsko tijelo s 20 jednakih lica. Među svojstvima redovitog dvadeset hedrona su sljedeća:

1. Sva su lica ikosaedra jednakokračni trokuti.
2. Pet lica konvergira se na svakom vrhu poliedra, a zbroj susjednih kutova tjemena iznosi 300.
3. Ikosaedar, poput dodekaedra, ima 15 osi i ravnina simetrije koje prolaze kroz središnje točke suprotnih stranica.

Polupravilni poligoni

Uz platonske čvrste tvari, skupina konveksnihPoliedri također uključuju arhimedove čvrste tvari, koje su krnji pravilni poliedri. Vrste poliedra u ovoj skupini imaju sljedeća svojstva:

1. Geometrijska tijela imaju u paru jednaka licanekoliko vrsta, na primjer, krnji tetraedar, poput pravilnog tetraedra, ima 8 lica, ali u slučaju arhimedovske krutine, 4 lica bit će trokutasta, a 4 šesterokutna.
2. Svi su kutovi jednog vrha podudarni.

Zvjezdani poliedri

Predstavnici nespremničkih vrsta geometrijskih tijela- zvjezdasti poliedri, čija se lica međusobno sijeku. Mogu se oblikovati spajanjem dvaju pravilnih trodimenzionalnih tijela ili proširivanjem njihovih lica.

Dakle, takvi zvjezdani poliedri poznati su kao: zvjezdani oktaedar, dodekaedar, ikosaedar, kuboktaedar, ikozidodekaedar.