Euklidov prostor: pojam, svojstva, znakovi

Još u školi svi učenici upoznaju se s konceptom"Euklidska geometrija", čije su glavne odredbe usredotočene na nekoliko aksioma, temeljenih na takvim geometrijskim elementima kao što su točka, ravnina, linija, kretanje. Svi oni zajedno tvore ono što je odavno poznato pod izrazom "euklidski prostor".

Euklidov prostor čija je definicijatemelji se na stavu o skalarnom množenju vektora, poseban je slučaj linearnog (afinnog) prostora koji zadovoljava brojne zahtjeve. Prvo, skalarni proizvod vektora apsolutno je simetričan, odnosno vektor s koordinatama (x; y) je kvantitativno identičan vektoru s koordinatama (y; x), ali suprotnog smjera.

Drugo, u slučaju da je atočkasti proizvod vektora sa samim sobom, tada će rezultat ove radnje biti pozitivan. Jedina iznimka bit će slučaj kada su početne i krajnje koordinate ovog vektora jednake nuli: u ovom će slučaju i njegov proizvod sam sa sobom biti jednak nuli.

Treće, postoji distributivnostskalarni proizvod, odnosno mogućnost razlaganja jedne od njegovih koordinata u zbroj dviju vrijednosti, što neće povlačiti nikakve promjene u konačnom rezultatu skalarnog množenja vektora. Konačno, četvrto, kad se vektori pomnože s istim stvarnim brojem, njihov će se točkasti umnožak također povećati za isti iznos.

U slučaju da su sva ova četiri uvjeta ispunjena, sa pouzdanjem možemo reći da imamo euklidski prostor.

S praktičnog gledišta, euklidski se prostor može okarakterizirati sljedećim specifičnim primjerima:

1. Najjednostavniji slučaj je prisutnost skupa vektora sa skalarnim proizvodom definiranim prema osnovnim zakonima geometrije.
2. Euklidov prostor dobit će se čak i akoako pod vektorima podrazumijevamo određeni konačni skup realnih brojeva s zadanom formulom koja opisuje njihov skalarni zbroj ili proizvod.
3. Poseban slučaj euklidskog prostora treba prepoznati kao takozvani nulti prostor, koji se dobiva ako je skalarna duljina oba vektora jednaka nuli.

Euklidov prostor ima nizspecifična svojstva. Prvo, skalarni faktor može se izvaditi iz zagrada i prvog i drugog faktora skalarnog proizvoda, rezultat neće doživjeti nikakve promjene. Drugo, uz distributivnost prvog elementa točkastog proizvoda, djeluje i distributivnost drugog elementa. Osim toga, osim skalarnog zbroja vektora, distribucija se događa i u slučaju oduzimanja vektora. Konačno, treće, skalarnim množenjem vektora s nulom rezultat će također biti nula.

Dakle, euklidski prostor jenajvažniji geometrijski pojam koji se koristi u rješavanju problema s međusobnim rasporedom vektora međusobno, za čiju se karakterizaciju koristi takav pojam kao točkasti proizvod.