Maclaurin sorozat és egyes funkciók kibővítése

A matematika hallgatóinak tisztában kell lenniükhogy egy adott sorozat konvergencia-intervallumába tartozó bizonyos teljesítménysorozat összege folyamatos és korlátlan számú differenciált függvény. Felmerül a kérdés: mondhatjuk-e, hogy egy adott tetszőleges f (x) függvény egy adott teljesítménysorozat összege? Vagyis hogy az f (x) függvény milyen feltételek mellett reprezentálható egy energiasorozattal? Ennek a kérdésnek az a jelentősége, hogy az f-ju f (x) értékét nagyjából fel lehet cserélni a hatalom sorozatának néhány első kifejezésének összegével, azaz a polinommal. A függvény ilyen meglehetősen egyszerű kifejezéssel történő cseréje - polinom - szintén kényelmes a matematikai elemzés egyes problémáinak megoldására, nevezetesen integrálok megoldására, differenciálegyenletek kiszámítására stb.

Bebizonyosodott, hogy néhány olyan f-ii f (x) esetében, amelyben az (α) szomszédságában számolhatók származékok az (n + 1) -es rendig, beleértve az utolsót is, - R; x₀ X = α pont + R) értéke, a következő képlet érvényes:

Ezt a képletet a híres tudós, Brooke Taylor nevében nevezték el. Az előzőtől kapott sorozatot Maclaurin sorozatnak nevezzük:

A Maclaurin sorozatban a bomlást lehetővé tevő szabály:

1. Határozzuk meg az első, második, harmadik ... sorrend származékait.
2. Számítsa ki, hogy az x = 0 származékai milyenekkel egyenlők.
3. Írja be a funkcióhoz a Maclaurin sorozatot, majd határozza meg annak konvergenciájának időtartamát.
4. Határozzuk meg azt a intervallumot (-R; R), ahol a Maclaurin képlet fennmaradó része

P_n(x) -> 0, mint n -> végtelenség. Ha létezik ilyen, akkor az abban szereplő f (x) függvénynek egybeesnie kell a Maclaurin sorozat összegével.

Most megvizsgáljuk a Maclaurin sorozatot az egyes funkciókhoz.

1. Tehát az első f (x) = e lesz^x. Természetesen, jellegzetességeit tekintve, egy ilyen funkció különféle rendű származékokat tartalmaz, és f^{(nak nek)}(x) = e^a, ahol k egyenlő az összes természetes számmal. Helyettesítő x = 0. Kapunk f^{(nak nek)}(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... A fentiek alapján az e sorozat^x így néz ki:

2. Az f (x) = sin x függvényhez tartozó malaurin sorozat. Azonnal tisztázjuk, hogy az f-ia minden ismeretlen számára származékokkal rendelkezik, ráadásul f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^„”(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^{(nak nek)}(x) = sin (x + k * n / 2), ahol k egyenlő bármely természetes számmal. Vagyis az egyszerű számítások elvégzése után arra a következtetésre juthatunk, hogy az f (x) = sin x sorozatának ilyen formája lesz:

3. Most megpróbáljuk figyelembe venni az f-ju f (x) = cos x-t. Minden ismeretlen számára tetszőleges sorrendű származékokkal rendelkezik, és | f^{(nak nek)}(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Megint bizonyos számítások után megkapjuk, hogy az f (x) = cos x sorozata így néz ki:

Tehát felsoroltuk a legfontosabb funkciókatkibővíthető a Maclaurin sorozatban, de néhány funkcióval kiegészítik a Taylor sorozatot. Most felsoroljuk őket. Érdemes megjegyezni, hogy a Taylor és Maclaurin sorozat a felső matematika sorozatmegoldó műhelyének fontos része. Tehát Taylor soraiban.

1. Az első az f-ii f (x) = ln (1 + x) sorozatát jelenti.Mint az előző példákban, az adott f (x) = ln (1 + x) esetén a sorozatot hozzáadhatjuk a Maclaurin sorozat általános formájával. ennek ellenére a Maclaurin sorozat sokkal egyszerűbben beszerezhető. Egy bizonyos geometriai sorozat integrálásával kapunk egy sorozatot az ilyen minta f (x) = ln (1 + x) értékére:

2. És a második, amely cikkünkben végleges lesz, az f (x) = arctg x sorozatot fogja tartalmazni. A [-1; 1] intervallumba tartozó x esetében a bomlás érvényes:

Ez minden. Ez a cikk a magasabb matematikában a leggyakrabban használt Taylor és Maclaurin sorozatokat vizsgálta, különösen a gazdasági és műszaki egyetemeken.