Come trovare i punti minimo e massimo di una funzione: caratteristiche, metodi ed esempi

La funzione e lo studio delle sue caratteristiche prendonouno dei capitoli chiave della matematica moderna. Il componente principale di qualsiasi funzione sono i grafici che rappresentano non solo le sue proprietà, ma anche i parametri della derivata di questa funzione. Diamo un'occhiata a questo difficile argomento. Quindi qual è il modo migliore per cercare i punti massimo e minimo di una funzione?

Funzione: definizione

Qualsiasi variabile che in qualche modo dipende dai valori di un'altra quantità può essere chiamata funzione. Ad esempio, la funzione f (x²) è quadratico e determina i valori per l'intero insieme x. Diciamo che x = 9, quindi il valore della nostra funzione sarà 9²= 81.

Le funzioni sono disponibili in molte forme diverse:logico, vettoriale, logaritmico, trigonometrico, numerico e altri. Menti eccezionali come Lacroix, Lagrange, Leibniz e Bernoulli furono impegnate nel loro studio. I loro scritti fungono da pilastro nei modi moderni di studiare le funzioni. Prima di trovare i punti di minimo, è molto importante comprendere il significato stesso della funzione e della sua derivata.

Derivato e il suo ruolo

Tutte le funzioni dipendono dalla lorovariabili, il che significa che possono cambiare il loro valore in qualsiasi momento. Sul grafico, questo sarà rappresentato come una curva che scende o sale lungo l'ordinata (questo è l'intero insieme di numeri "y" lungo la verticale del grafico). Quindi la definizione dei punti massimo e minimo della funzione è proprio connessa a queste "fluttuazioni". Spieghiamo cos'è questa relazione.

La derivata di qualsiasi funzione è tracciata sul graficoper studiarne le principali caratteristiche e calcolare quanto velocemente la funzione cambia (cioè cambia il suo valore in funzione della variabile "x"). Nel momento in cui la funzione aumenta, aumenterà anche il grafico della sua derivata, ma in qualsiasi momento la funzione potrebbe iniziare a diminuire e quindi il grafico della derivata diminuirà. I punti in cui la derivata va dal segno meno al più sono chiamati punti di minimo. Per sapere come trovare i punti di minimo, si dovrebbe comprendere meglio il concetto di derivata.

Come calcolo la derivata?

Definire e calcolare la derivata di una funzioneimplica diversi concetti del calcolo differenziale. In generale, la definizione stessa di derivata può essere espressa come segue: è la quantità che mostra il tasso di variazione della funzione.

Il modo matematico per definirlo per moltigli studenti sembrano complicati, ma in realtà è tutto molto più semplice. Hai solo bisogno di seguire il piano standard per trovare la derivata di qualsiasi funzione. Di seguito viene descritto come si può trovare il punto di minimo di una funzione senza applicare le regole di differenziazione e senza memorizzare la tavola delle derivate.

1. Puoi calcolare la derivata di una funzione usandografica. Per fare ciò, è necessario rappresentare la funzione stessa, quindi prendere un punto su di essa (punto A nella figura).Tracciare una linea verticalmente fino all'asse delle ascisse (punto x₀), e nel punto A tracciare una tangente al graficofunzioni. L'asse delle ascisse e la tangente formano un certo angolo a. Per calcolare il valore di quanto velocemente aumenta la funzione, è necessario calcolare la tangente di questo angolo a.
2. Si scopre che la tangente dell'angolo tra la tangente ela direzione dell'asse x è la derivata della funzione in una piccola sezione con il punto A. Questo metodo è considerato un modo geometrico per determinare la derivata.

Metodi di ricerca delle funzioni

Nel curriculum scolastico di matematica è possibiletrovare il punto di minimo della funzione in due modi. Abbiamo già analizzato il primo metodo utilizzando il grafico, ma come determinare il valore numerico della derivata? Per fare ciò, dovrai imparare diverse formule che descrivono le proprietà della derivata e aiutano a convertire variabili come "x" in numeri. Il seguente metodo è universale, quindi può essere applicato a quasi tutti i tipi di funzioni (sia geometriche che logaritmiche).

1. È necessario equiparare la funzione alla funzione derivata e quindi semplificare l'espressione utilizzando le regole di derivazione.
2. In alcuni casi, quando viene data una funzione, indove la variabile "x" è nel divisore, è necessario determinare l'intervallo dei valori consentiti, escludendo da esso il punto "0" (per il semplice motivo che in matematica in nessun caso si può dividere per zero).
3. Successivamente, dovresti convertire la forma originale della funzione in una semplice equazione, eguagliando l'intera espressione a zero. Ad esempio, se la funzione fosse così: f (x) = 2x³+ 38x, quindi, secondo le regole di differenziazione, la sua derivata è uguale a f "(x) = 3x²+1. Quindi trasformiamo questa espressione in un'equazione della forma seguente: 3x²+1 = 0.
4. Dopo aver risolto l'equazione e aver trovato i punti "x",dovresti disegnarli sull'asse delle ascisse e determinare se la derivata in queste aree tra i punti contrassegnati è positiva o negativa. Dopo la designazione, diventerà chiaro a che punto la funzione inizia a diminuire, cioè cambia il suo segno da meno all'opposto. È in questo modo che puoi trovare sia il punto minimo che quello massimo.

Regole di differenziazione

La componente più basilare nell'apprendimento della funzione eil suo derivato è la conoscenza delle regole di differenziazione. Solo con il loro aiuto è possibile trasformare espressioni voluminose e grandi funzioni complesse. Diamo un'occhiata a loro, ce ne sono molti, ma sono tutti molto semplici a causa delle proprietà naturali sia della potenza che delle funzioni logaritmiche.

1. La derivata di qualsiasi costante è zero (f (x) = 0). Cioè, la derivata f (x) = x⁵+ x - 160 assumerà questa forma: f "(x) = 5x⁴+1.
2. Derivata della somma di due termini: (f + w) "= f" w + fw ".
3. Derivata della funzione logaritmica: (log_ed) "= d / ln a * d. Questa formula si applica a tutti i tipi di logaritmi.
4. Grado derivato: (xⁿ) "= n * x^n-1... Ad esempio, (9x²) "= 9 * 2x = 18x.
5. Derivata di una funzione sinusoidale: (sin a) "= cos a. Se il sin dell'angolo a è 0,5, la sua derivata è √3 / 2.

punti estremi

Abbiamo già capito come trovare i punti di minimo,tuttavia, esiste anche un concetto di punti massimi di una funzione. Se il minimo indica i punti in cui la funzione passa dal segno meno al più, i punti massimi sono quei punti sull'asse delle ascisse in cui la derivata della funzione cambia da più all'opposto - meno.

È possibile trovare i punti massimi secondo il metodo sopra descritto, solo si dovrebbe tenere conto del fatto che indicano quelle sezioni in cui la funzione inizia a diminuire, cioè la derivata sarà inferiore a zero.

In matematica, è consuetudine generalizzare entrambi i concetti,sostituendoli con la frase "punti estremi". Quando l'attività chiede di determinare questi punti, significa che è necessario calcolare la derivata di questa funzione e trovare i punti minimo e massimo.