Come semplificare le espressioni booleane: funzioni, leggi ed esempi

Oggi impareremo come semplificare insieme le espressioni logiche, familiarizzare con le leggi di base e studiare le tabelle di verità delle funzioni logiche.

Cominciamo con il motivo per cui è necessario questo articolo.Hai mai notato come parli? Tieni presente che le nostre parole e le nostre azioni obbediscono sempre alle leggi della logica. Per conoscere l'esito di un evento e non rimanere intrappolati, studia leggi della logica semplici e comprensibili. Ti aiuteranno non solo a ottenere un buon voto in informatica o ad ottenere più punti all'esame di stato unificato, ma anche ad agire in situazioni di vita non a caso.

operazioni

Per imparare a semplificare le espressioni logiche, devi sapere:

• quali funzioni sono in algebra booleana;
• leggi di riduzione e trasformazione delle espressioni;
• l'ordine delle operazioni.

Considereremo ora questi problemi in dettaglio. Cominciamo con le operazioni. Sono abbastanza facili da ricordare.

1. Prima di tutto, notiamo la moltiplicazione logica, inin letteratura è chiamata operazione di congiunzione. Se la condizione è scritta come un'espressione, l'operazione è indicata da un segno di spunta invertito, un segno di moltiplicazione o "&".
2. La successiva funzione più comune è l'aggiunta o la disgiunzione logica. È contrassegnato con un segno di spunta o un segno più.
3. La funzione di negazione o inversione è molto importante. Ricorda come hai individuato il prefisso in russo. Graficamente, l'inversione è indicata da un prefisso davanti a un'espressione o una linea orizzontale sopra di essa.
4. Conseguenza logica (o implicazione)indicato da una freccia dal significato all'effetto. Se consideriamo l'operazione dal punto di vista della lingua russa, allora corrisponde a questo tipo di costruzione della frase: "se ... allora ...".
5. Segue l'equivalenza, indicata da una freccia a due punte. In russo, l'operazione sembra: "solo allora".
6. Il tratto di Schaeffer separa le due espressioni con un tubo.
7. La freccia Pierce, come il tratto Schaeffer, separa le espressioni con una freccia verticale rivolta verso il basso.

Assicurati di ricordare che l'operazione è necessariaeseguire in stretta sequenza: negazione, moltiplicazione, addizione, conseguenza, equivalenza. Non esiste una regola di ordinamento per il colpo di Schaeffer e la freccia di Pierce. Pertanto, devono essere eseguiti nell'ordine in cui compaiono in un'espressione complessa.

Tabelle della verità

Semplifica l'espressione booleana e creala tabella di verità per la sua ulteriore soluzione è impossibile senza la conoscenza delle tabelle delle operazioni di base. Ora ti invitiamo a conoscerli. Tieni presente che i valori possono essere veri o falsi.

Per congiunzione, la tabella ha questo aspetto:

La tabella per l'operazione di disgiunzione:

Negazione:

Corollario:

Equivalenza:

Colpo di Schiffer:

Freccia di Pierce:

Leggi di semplificazione

Alla domanda su come semplificare le espressioni logiche nell'informatica, leggi della logica semplici e chiare ci aiuteranno a trovare le risposte.

Cominciamo con la più semplice legge di contraddizione.Se moltiplichiamo concetti opposti (A e non A), allora otteniamo una bugia. Nel caso dell'aggiunta di concetti opposti, otteniamo la verità, questa legge è chiamata "la legge del terzo escluso". Spesso in algebra booleana ci sono espressioni con doppia negazione (non A), nel qual caso otteniamo la risposta A. Ci sono anche due leggi di de Morgan:

• se abbiamo una negazione dell'addizione logica, allora otteniamo la moltiplicazione di due espressioni con inversione (not (A + B) = notA * notB);
• la seconda legge funziona in modo simile, se abbiamo la negazione dell'operazione di moltiplicazione, allora otteniamo l'addizione di due valori con inversione.

La duplicazione è molto comune, l'una e l'altralo stesso valore (A o B) viene sommato o moltiplicato tra di loro. In questo caso, si applica la legge della ripetizione (A * A = A o B + B = B). Si applicano anche le leggi dell'assorbimento:

• A + (A * B) = A;
• A * (A + B) = A;
• A * (non A + B) = A * B.

Esistono due leggi di legame:

• (A * B) + (A * B) = A;
• (A + B) * (A + B) = A.

Non è difficile semplificare le espressioni logiche seconoscere le leggi dell'algebra booleana. Tutte le leggi elencate in questa sezione dell'articolo possono essere verificate empiricamente. Per fare ciò, vale la pena aprire le parentesi secondo le leggi della matematica.

Esempio 1

Abbiamo studiato tutte le caratteristiche della semplificazione logicaespressioni, ora devi consolidare le tue nuove conoscenze nella pratica. Ti invitiamo ad analizzare insieme tre esempi tratti dal curriculum scolastico e biglietti per l'esame di stato unificato.

Nel primo esempio, dobbiamo semplificare l'espressione:(C * E) + (C * non E). Innanzitutto attiriamo la nostra attenzione sul fatto che sia la prima che la seconda parentesi contengono la stessa variabile C, suggeriamo di toglierla dalle parentesi. Dopo la manipolazione eseguita, otteniamo l'espressione: C * (E + notE). In precedenza abbiamo considerato la legge di esclusione del terzo, la applicheremo a questa espressione. Seguendolo, possiamo affermare che E + non E = 1, quindi, la nostra espressione assume la forma: C * 1. Possiamo semplificare ulteriormente l'espressione risultante, sapendo che C * 1 = C.

Esempio 2

Il nostro prossimo compito suonerà così: quale sarà l'espressione logica semplificata not (C + notE) + not (C + E) + C * E?

Si noti che in questo esempio è presentenegazione di espressioni complesse, vale la pena sbarazzarsene, guidato dalle leggi di de Morgan. Applicandoli, otteniamo l'espressione: non C * E + non C * non E + C * E. Osserviamo ancora la ripetizione della variabile in due termini, la togliamo dalle parentesi: notC * (E + notE) + C * E. Anche in questo caso applichiamo la legge di esclusione: non C * 1 + C * E. Ricordiamo che l'espressione "notC * 1" è uguale a notC: notC + C * E. Inoltre, proponiamo di applicare la legge di distribuzione: (non C + C) * (non C + E). Applichiamo la legge di esclusione del terzo: non C + E.

Esempio 3

Hai visto che in realtà è molto facile semplificare un'espressione booleana. L'esempio numero 3 sarà dipinto in modo meno dettagliato, prova a farlo da solo.

Semplifica l'espressione: (D + E) * (D + F).

1. D * D + D * F + E * D + E * F;
2. D + D * F + E * D + E * F;
3. D * (1 + F) + E * D + E * F;
4. D + E * D + E * F;
5. D * (1 + E) + E * F;
6. RE + MI * F.

Come puoi vedere, se conosci le leggi della semplificazione di espressioni logiche complesse, questo compito non ti causerà mai alcuna difficoltà.