A scuola, ognuno di noi ha studiato equazioni e,probabilmente un sistema di equazioni. Ma non molte persone sanno che ci sono diversi modi per risolverli. Oggi analizzeremo in dettaglio tutti i metodi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari, che consistono in più di due uguaglianze.
Oggi si sa che l'arteper risolvere le equazioni e i loro sistemi originati nell'antica Babilonia e in Egitto. Tuttavia, le uguaglianze nella loro forma abituale sono apparse dopo la comparsa del segno di uguale "=", introdotto nel 1556 dal matematico inglese Record. A proposito, questo segno è stato scelto per una ragione: significa due segmenti uguali paralleli. In effetti, non c'è esempio migliore di uguaglianza.
Il fondatore dell'alfabeto modernonotazione sconosciuta e segni di laurea è il matematico francese François Viet. Tuttavia, le sue designazioni erano significativamente diverse da quelle odierne. Ad esempio, ha indicato il quadrato di un numero sconosciuto con la lettera Q (latino "quadratus") e il cubo con la lettera C (latino "cubus"). Questa notazione ora sembra scomoda, ma allora era il modo più comprensibile per scrivere sistemi di equazioni algebriche lineari.
Tuttavia, lo svantaggio negli allora metodi di risoluzioneera che i matematici consideravano solo radici positive. Forse questo è dovuto al fatto che i valori negativi non avevano alcun uso pratico. In un modo o nell'altro, furono i matematici italiani Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli che furono i primi a considerare le radici negative nel XVI secolo. E la forma moderna, il metodo principale per risolvere le equazioni quadratiche (attraverso il discriminante) è stata creata solo nel XVII secolo grazie alle opere di Cartesio e Newton.
Matematico svizzero della metà del XVIII secolo GabrielKramer ha trovato un nuovo modo per semplificare la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questo metodo è stato poi chiamato dopo di lui e ancora oggi lo usiamo. Ma parleremo del metodo di Cramer un po 'più tardi, ma per ora discuteremo di equazioni lineari e metodi per la loro soluzione separatamente dal sistema.
Le equazioni lineari sono le uguaglianze più semplici con una variabile (s). Sono classificati come algebrici. Le equazioni lineari sono scritte in forma generale come segue: a1* s1+ a2 *con2+ ... an* sn= b. Avremo bisogno della loro rappresentazione in questa forma quando compileremo ulteriormente sistemi e matrici.
La definizione di questo termine è la seguente:è una raccolta di equazioni che hanno incognite comuni e una soluzione comune. Di norma, a scuola tutti erano risolti da sistemi con due o anche tre equazioni. Ma ci sono sistemi con quattro o più componenti. Scopriamo prima come scriverli in modo che sia conveniente risolverli in futuro. Primo, i sistemi di equazioni algebriche lineari avranno un aspetto migliore se tutte le variabili sono scritte come x con l'indice appropriato: 1,2,3 e così via. In secondo luogo, tutte le equazioni dovrebbero essere ridotte alla forma canonica: a1* s1+ a2 *con2+ ... an* sn= b.
Dopo tutti questi passaggi, possiamo iniziare a dire come trovare una soluzione a sistemi di equazioni lineari. Le matrici sono molto utili per questo.
Matrix è una tabella composta da righe ecolonne, e alla loro intersezione ci sono i suoi elementi. Questi possono essere valori o variabili specifici. Molto spesso, per designare elementi, sotto di essi vengono posti dei pedici (ad esempio, a11 o un23). Il primo indice è il numero di riga e il secondo è la colonna. Varie operazioni possono essere eseguite su matrici, così come su qualsiasi altro elemento matematico. Pertanto, puoi:
1) Sottrarre e aggiungere tabelle della stessa dimensione.
2) Moltiplicare la matrice per qualsiasi numero o vettore.
3) Trasponi: trasforma le righe della matrice in colonne e le colonne in righe.
4) Moltiplicare le matrici se il numero di righe di una di esse è uguale al numero di colonne dell'altra.
Discuteremo tutte queste tecniche in modo più dettagliato, poiché esseci sarà utile in futuro. La sottrazione e l'aggiunta di matrici è molto semplice. Poiché prendiamo matrici della stessa dimensione, ogni elemento di una tabella corrisponde a ciascun elemento dell'altra. Quindi, aggiungiamo (sottraiamo) questi due elementi (è importante che si trovino negli stessi posti nelle loro matrici). Quando si moltiplica una matrice per un numero o un vettore, è sufficiente moltiplicare ciascun elemento della matrice per quel numero (o vettore). La trasposizione è un processo molto interessante. A volte è molto interessante vederlo nella vita reale, ad esempio, quando si cambia l'orientamento di un tablet o di un telefono. Le icone sul desktop sono una matrice e quando cambi la posizione, viene trasposta e diventa più ampia, ma diminuisce in altezza.
Analizziamo anche un processo come la moltiplicazione matriciale.Anche se non ci sarà utile, sarà comunque utile conoscerla. Puoi moltiplicare due matrici solo se il numero di colonne in una tabella è uguale al numero di righe nell'altra. Ora prendiamo gli elementi di una riga di una matrice e gli elementi della colonna corrispondente di un'altra. Li moltiplichiamo tra loro e poi li sommiamo (cioè, ad esempio, il prodotto degli elementi a11 e a12 su b12 e B22 sarà uguale a: a11* B12 + a12* B22). Pertanto, si ottiene un elemento della tabella e in modo simile viene ulteriormente riempito.
Ora possiamo iniziare a considerare come si risolve il sistema di equazioni lineari.
Questo argomento inizia a svolgersi a scuola. Conosciamo bene il concetto di "sistema di due equazioni lineari" e siamo in grado di risolverli. Ma cosa succede se il numero di equazioni è più di due? Il metodo di Gauss ci aiuterà in questo.
Naturalmente, questo metodo è comodo da usare se si crea una matrice dal sistema. Ma non puoi trasformarlo e risolverlo nella sua forma più pura.
Allora, come è il sistema di lineareEquazioni di Gauss? A proposito, sebbene questo metodo prenda il suo nome, è stato scoperto nell'antichità. Gauss propone quanto segue: eseguire operazioni con equazioni per ridurre eventualmente l'intero insieme a una forma graduale. Cioè, è necessario che dall'alto verso il basso (se posizionato correttamente) dalla prima equazione all'ultima diminuisca in un'incognita. In altre parole, dobbiamo assicurarci di ottenere, diciamo, tre equazioni: nella prima - tre incognite, nella seconda - due, nella terza - una. Quindi dall'ultima equazione troviamo la prima incognita, sostituiamo il suo valore nella seconda o nella prima equazione, quindi troviamo le restanti due variabili.
Per padroneggiare questo metodo, è vitalepossiedi le abilità di addizione, sottrazione di matrici e devi anche essere in grado di trovare determinanti. Pertanto, se non fai tutto questo bene o non sai affatto come, dovrai imparare e praticare.
Qual è l'essenza di questo metodo e come farlo in modo cheottenuto un sistema di equazioni di Kramer lineari? Tutto è molto semplice. Dobbiamo costruire una matrice dai coefficienti numerici (quasi sempre) di un sistema di equazioni algebriche lineari. Per fare ciò, prendiamo semplicemente i numeri davanti alle incognite e li posizioniamo nella tabella nell'ordine in cui sono scritti nel sistema. Se c'è un segno "-" davanti al numero, annota un coefficiente negativo. Quindi, abbiamo compilato la prima matrice dei coefficienti per le incognite, esclusi i numeri dopo i segni di uguale (naturalmente, l'equazione dovrebbe essere ridotta alla forma canonica, quando solo un numero è a destra e tutte le incognite con coefficienti sono a sinistra). Quindi è necessario creare diverse altre matrici, una per ogni variabile. Per fare ciò, nella prima matrice, a sua volta, sostituire ogni colonna con i coefficienti con la colonna di numeri dopo il segno di uguale. Quindi, otteniamo diverse matrici e poi troviamo i loro determinanti.
Dopo aver trovato le qualificazioni, il caso perpiccolo. Abbiamo una matrice iniziale e ci sono diverse matrici risultanti che corrispondono a variabili diverse. Per ottenere soluzioni di sistema, dividiamo il determinante della tabella risultante per il determinante della tabella iniziale. Il numero risultante è il valore di una delle variabili. Allo stesso modo, troviamo tutte le incognite.
Ci sono molti altri metodi perottenere una soluzione a sistemi di equazioni lineari. Ad esempio, il cosiddetto metodo di Gauss-Jordan, che viene utilizzato per trovare soluzioni a un sistema di equazioni quadratiche ed è anche associato all'uso di matrici. Esiste anche un metodo Jacobi per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari. È il più facile da adattare a un computer e viene utilizzato nell'informatica.
La difficoltà di solito sorge se il numero di equazionimeno variabili. Allora possiamo dire con certezza che o il sistema è incompatibile (cioè non ha radici), oppure il numero delle sue soluzioni tende all'infinito. Se abbiamo il secondo caso, allora dobbiamo scrivere la soluzione generale di un sistema di equazioni lineari. Conterrà almeno una variabile.
Eccoci arrivati alla fine.Riassumendo: abbiamo analizzato cosa sono un sistema e una matrice, abbiamo imparato a trovare una soluzione generale a un sistema di equazioni lineari. Inoltre, sono state prese in considerazione altre opzioni. Abbiamo scoperto come si risolve il sistema di equazioni lineari: il metodo di Gauss e il metodo di Cramer. Abbiamo parlato di casi difficili e di altri modi per trovare soluzioni.
In effetti, questo argomento è molto più ampio e se vuoi capirlo meglio, ti consigliamo di leggere letteratura più specializzata.
