Polyhedra. Polyhedros tipai ir jų savybės

Polyhedra yra ne tik svarbūsgeometrija, bet ir kasdieniame kiekvieno žmogaus gyvenime. Jau nekalbant apie dirbtinai sukurtus namų apyvokos daiktus įvairių poligonų pavidalu, pradedant taškais ir baigiant architektūriniais elementais, gamtoje taip pat yra kubo (druskos), prizmių (kristalų), piramidžių (scheelitų), oktaedrinių (deimantų) ir t. dd

Polifedro koncepcija, poligedros tipai geometrijoje

Geometrija kaip mokslas turi stereometrijos dalį,tiriant tūrio formos savybes ir savybes. Geometriniai kūnai, kurių kraštai trimatėje erdvėje yra suformuoti ribotomis plokštumomis (veidais), vadinami „polyhedra“. Polyhedros tipai turi daugiau nei tuziną atstovų, kurie skiriasi nuo veidų skaičiaus ir formos.

Nepaisant to, visi polyhedra turi bendrų savybių:

1. Visi jie turi 3 sudėtines dalis:veidą (daugiakampį paviršių), viršūnę (kampus, suformuotus taškuose, į kuriuos jungiasi veidai), kraštą (formos ar segmento, susidarančio dviejų paviršių sankryžoje).
2. Kiekvienas daugiakampio kraštas jungia du ir tik du vienas šalia kito esančius veidus.
3. „Bulge“ reiškia, kad kūnas yra visiškaiesantis tik vienoje plokštumos pusėje, ant kurios yra vienas iš veidų. Ši taisyklė taikoma visiems polifedro veidams. Tokias geometrines figūras stereometrijoje vadina sąvoka „išgaubta polyhedra“. Išimtis yra žvaigždė polyhedra, kuri yra kilusi iš įprastinių polichronominių geometrinių kūnų.

Polyhedra galima suskirstyti į:

1. Išgaubtos polihedros rūšys, susidedančios iššios klasės: paprastas arba klasikinis (prizmė, piramidė, lygiagretė), reguliarus (taip pat vadinamas platoniškomis kietosiomis medžiagomis), pusiau teisingas (antrasis pavadinimas - archimedų kietosios medžiagos).
2. Nonconvex polihedra (žvaigždės formos).

Prizma ir jos savybės

Stereometrija kaip geometrijos tyrimų dalistrimatės figūros savybės, polyhedros tipai (tarp jų prizmė). Prizma yra geometrinis kūnas, kuris būtinai turi du visiškai identiškus veidus (jie taip pat vadinami bazėmis), esantys lygiagrečiose plokštumose, o n-ojo šoninių veidų skaičius lygiagretės formos. Savo ruožtu prizme taip pat yra kelios veislės, įskaitant tokius polyhedros tipus:

1. Jei yra pagrindo lygiagretė, tai yra lygiagrečioji plokštuma - daugiakampis su dviem lygių priešingų kampų poromis ir dviem poromis priešingų pusių.
2. Tiesi prizmė yra statmena šonkaulio pagrindui.
3. Įstrižą prizmę apibūdina netiesioginiai kampai (išskyrus 90) tarp veidų ir pagrindo.
4. Reguliariąją prizmę apibūdina bazės, esančios reguliaraus daugiakampio formos, turinčios vienodus šoninius veidus.

Pagrindinės prizmės savybės:

• Susivieniję fondai.
• Visos prizmės briaunos yra lygios ir lygiagrečios viena kitai.
• Visi šoniniai paviršiai yra lygiagretainio formos.

Piramidė

Piramidė yra geometrinis kūnas, kurissusideda iš vieno pagrindo ir n-ojo skaičiaus trikampių veidų, sujungtų viename taške - viršūnės. Reikėtų pažymėti, kad jei piramidės šoniniai paviršiai būtinai vaizduojami trikampiais, tai pagrinde gali būti arba trikampis daugiakampis, arba keturkampis, arba penkiakampis ir t. T. Be galo. Tokiu atveju piramidės pavadinimas atitiks pagrindo daugiakampį. Pvz., Jei trikampis guli piramidės pagrinde, tai yra trikampė piramidė, keturkampis yra keturkampis ir pan.

Piramidės yra kūgio formos daugiakampės. Be pirmiau išvardytų šios grupės polihedrų tipų, taip pat yra šie atstovai:

1. Taisyklingos piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o jos aukštis projektuojamas į apskritimo vidurį, užrašytą pagrinde arba aplink jį.
2. Stačiakampė piramidė susidaro, kai vienas iš šoninių kraštų susikerta su pagrindu stačiu kampu. Šiuo atveju šį kraštą taip pat galima pavadinti piramidės aukščiu.

Piramidės savybės:

• Jei visi piramidės šoniniai kraštaiyra sutampantys (vienodo aukščio), tada jie visi susikerta su pagrindu tuo pačiu kampu, o aplink pagrindą galite nupiešti apskritimą, kurio centras sutampa su piramidės viršaus projekcija.
• Jei piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, tada visi šoniniai kraštai sutampa, o veidai yra lygiakraščiai trikampiai.

Taisyklingasis daugiakampis: daugiakampio rūšys ir savybės

Stereometrijoje ypatingą vietą užimageometriniai kūnai su absoliučiai vienodais veidais, kurių viršūnėse sujungtas tiek pat briaunų. Šie kūnai vadinami platoninėmis kietosiomis dalimis arba taisyklingomis daugiakampėmis. Yra tik penkių rūšių polihedros, turinčios tokių savybių:

1. Tetraedras.
2. Hexahedronas.
3. Oktaedras.
4. Dodekaedras.
5. Icosahedronas.

Įprastos daugiakampės yra skolingos savo vardąsenovės graikų filosofui Platonui, kuris savo raštuose aprašė šiuos geometrinius kūnus ir sujungė juos su gamtos elementais: žeme, vandeniu, ugnimi, oru. Penktajai figūrai buvo suteiktas panašumas su visatos struktūra. Jo nuomone, natūralių elementų atomai pagal formą primena taisyklingų daugiakampių tipus. Dėl savo įdomiausios savybės, simetrijos, šie geometriniai kūnai labai domino ne tik senovės matematikus ir filosofus, bet ir visų laikų architektus, tapytojus ir skulptorius. Tik 5 daugiakampių rūšių, turinčių absoliučią simetriją, buvimas buvo laikomas esminiu radiniu, jiems netgi buvo suteiktas ryšys su dieviškuoju principu.

Heksahedras ir jo savybės

Šešiakampio formos Platono įpėdiniaipasiūlė panašumų su žemės atomų struktūra. Žinoma, šiuo metu ši hipotezė yra visiškai paneigta, tačiau tai netrukdo šiuolaikinių laikų figūroms savo estetika pritraukti garsių veikėjų protus.

Geometrijoje laikomas šešiakampis, dar žinomas kaip kubasspecialus gretasienio atvejis, kuris, savo ruožtu, yra tam tikra prizmė. Atitinkamai kubo savybės yra susijusios su prizmės savybėmis tik tuo skirtumu, kad visi kubo paviršiai ir kampai yra lygūs vienas kitam. Iš to seka šios savybės:

1. Visi kubo kraštai sutampa ir yra vienas kito atžvilgiu lygiagrečiose plokštumose.
2. Visi veidai yra sutampantys kvadratai (kubelyje jų yra 6), bet kurį iš jų galima laikyti pagrindu.
3. Visi briaunų kampai yra 90.
4. Iš kiekvienos viršūnės sklinda vienodas skaičius briaunų, būtent 3.
5. Kubas turi 9 simetrijos ašis, kurios visos susikerta šešiakampio, vadinamo simetrijos centru, įstrižainių sankirtoje.

Tetraedras

Tetraedras yra tetraedras su vienodais trikampių pavidalais, kurių kiekviena viršūnė yra trijų veidų jungties taškas.

Taisyklingo tetraedro savybės:

1. Visi tetraedro veidai yra lygiakraščiai trikampiai, o tai reiškia, kad visi tetraedro veidai sutampa.
2. Kadangi pagrindą vaizduoja taisyklinga geometrinė figūra, tai yra, jis turi lygias puses, tada tetraedro paviršiai susilieja tuo pačiu kampu, tai yra, visi kampai yra vienodi.
3. Plokščių kampų kiekvienoje viršūnėje suma yra 180, nes visi kampai yra vienodi, tada bet kuris taisyklingo tetraedro kampas yra 60.
4. Kiekviena iš viršūnių projektuojama į priešingo (ortocentro) veido aukščio susikirtimo tašką.

Oktaedras ir jo savybės

Apibūdinant taisyklingųjų daugiakampių tipus, negalima nepastebėti tokio objekto kaip oktaedras, kurį vizualiai galima pavaizduoti kaip dvi keturkampes taisyklingas piramides, suklijuotas pagrindais.

Oktaedro savybės:

1. Pats geometrinio kūno pavadinimas rodojos veidų skaičius. Oktaedrą sudaro 8 vienodi lygiakraščiai trikampiai, kurių kiekvienoje viršūnėje susilieja vienodas veidų skaičius, ty 4.
2. Kadangi visi aštuonkampio paviršiai yra vienodi, jo briaunos tarp kampų taip pat yra vienodos, kurių kiekviena yra 60, o bet kurios iš viršūnių plokščių kampų suma yra 240.

Dodekaedras

Jei įsivaizduotume, kad visi geometrinio kūno veidai yra taisyklingas penkiakampis, gausime dodekaedrą - 12 daugiakampių figūrą.

Dodekaedro savybės:

1. Kiekvienoje viršūnėje susikerta trys veidai.
2. Visi veidai yra vienodi, jų krašto ilgis ir plotas yra vienodi.
3. Dodekaedras turi 15 ašių ir simetrijos plokštumų, ir bet kuri iš jų eina per veido viršūnę ir priešingą krašto vidurį.

Icosahedronas

Ne mažiau įdomus nei dodekaedras, ikosaedro figūra yra erdvinis geometrinis kūnas, turintis 20 vienodų veidų. Tarp įprasto dvidešimt hedrono savybių yra šie:

1. Visi ikozaedro veidai yra lygiašoniai trikampiai.
2. Penki veidai susilieja kiekvienoje daugiakampio viršūnėje, o gretimų viršūnės kampų suma lygi 300.
3. Ikosaedras, kaip ir dodekaedras, turi 15 ašių ir simetrijos plokštumų, einančių per priešingų pusių vidurio taškus.

Pusiau taisyklingi daugiakampiai

Be platoninių kietųjų medžiagų, išgaubtųjų grupėPoliedrai taip pat apima Archimedo kietąsias medžiagas, kurios yra sutrumpintos taisyklingosios daugiakampės. Šios grupės polihedrų tipai turi šias savybes:

1. Geometriniai kūnai turi poromis vienodus veiduskelių tipų, pavyzdžiui, sutrumpintas tetraedras, kaip ir įprastas tetraedras, turi 8 veidus, tačiau Archimedo kietosios medžiagos atveju 4 veidai bus trikampiai, o 4 - šešiakampiai.
2. Visi vienos viršūnės kampai sutampa.

Žvaigždinė daugiakampė

Ne tūrinių geometrinių kūnų tipų atstovai- žvaigždinė daugiakampė, kurios veidai susikerta vienas su kitu. Jie gali būti suformuoti sujungiant du taisyklingus trimačius kūnus arba išplečiant jų veidus.

Taigi tokios žvaigždinės daugiakampės yra žinomos kaip: žvaigždėtas oktaedras, dodekaedras, ikosaedras, kuboktaedras, ikosidodekaedras.