Ciągła funkcja

Funkcja ciągła jest funkcjąbez „skoków”, to znaczy takich, dla których warunek jest spełniony: po małych zmianach argumentu następują niewielkie zmiany odpowiednich wartości funkcji. Wykres takiej funkcji jest krzywą gładką lub ciągłą.

Dla niektórych ciągłość jest ograniczonazestawy można określić za pomocą pojęcia granicy, mianowicie: funkcja musi mieć granicę w tym punkcie, która jest równa jej wartości w punkcie granicznym.

Jeśli warunki te zostaną w pewnym momencie naruszone,Mówią, że funkcja w tym momencie ulega przerwaniu, to znaczy jej ciągłość jest naruszona. W języku granic punkt nieciągłości można opisać jako niedopasowanie wartości funkcji w punkcie nieciągłym do granicy funkcji (jeśli istnieje).

W tym celu punkt przerwania może być usuwalnykonieczne jest ograniczenie funkcji, ale nie zbieganie się z jej wartością w danym punkcie. W tym przypadku można go „skorygować” w tym momencie, czyli dalej zdefiniować ciągłość.
Zupełnie inny obraz powstaje, jeśli granica funkcji w danym punkcie nie istnieje. Istnieją dwa możliwe punkty przerwania:

• pierwszego rodzaju - istnieją zarówno ograniczenia skończone, jak i jedno-jednostronne, a wartość jednego lub obu z nich nie pokrywa się z wartością funkcji w danym punkcie;
• drugi rodzaj, gdy jedna lub obie jednostronne granice nie istnieją lub ich wartości są nieskończone.

Własności funkcji ciągłych

• Funkcja uzyskana w wyniku działań arytmetycznych, jak również superpozycja funkcji ciągłych na ich dziedzinę definicji, jest również ciągła.
• Jeśli otrzymamy funkcję ciągłą, która w pewnym momencie jest dodatnia, to zawsze możemy znaleźć jej wystarczająco małe sąsiedztwo, na którym zachowa ona swój znak.
• Podobnie, jeśli jego wartości w dwóch punktach A i Bsą równe odpowiednio a i b, a a różni się od b, to dla punktów pośrednich przyjmie wszystkie wartości z przedziału (a; b). Można z tego wyciągnąć ciekawy wniosek: jeśli pozwolisz, aby rozciągnięta gumka skurczyła się, aby nie zwisała (pozostaje prosta), jeden z jej punktów pozostanie nieruchomy. Geometrycznie oznacza to, że przez dowolny punkt pośredni między punktami A i B przechodzi prosta linia, która przecina wykres funkcji.

Zwróćmy uwagę na niektóre z ciągłych (w zakresie ich definicji) funkcji elementarnych:

• stały;
• racjonalny;
• trygonometryczny.

Między dwoma podstawowymi pojęciami wmatematyka - ciągłość i różniczkowalność - istnieje nierozerwalny związek. Wystarczy tylko pamiętać, że aby funkcja była różniczkowalna, musi być funkcją ciągłą.

Jeżeli w pewnym momencie funkcja jest różniczkowalna, to jest tam ciągła. Jednak wcale nie jest konieczne, aby jego pochodna była ciągła.

Funkcja mająca na jakimś zestawiepochodna ciągła należy do odrębnej klasy funkcji gładkich. Innymi słowy, jest to funkcja ciągle różniczkowalna. Jeżeli pochodna ma ograniczoną liczbę punktów nieciągłości (tylko pierwszego rodzaju), to taką funkcję nazywamy odcinkowo gładką.

Kolejna ważna koncepcja rachunku różniczkowegojest jednorodną ciągłością funkcji, to znaczy jej zdolnością do bycia jednakowo ciągłą w dowolnym punkcie jej dziedziny definicji. Jest to zatem właściwość, która jest rozpatrywana w zbiorze punktów, a nie w żadnym z osobna.

Jeśli naprawisz punkt, nic nie dostanieszpoza definicją ciągłości, to znaczy z obecności jednostajnej ciągłości wynika, że ​​mamy funkcję ciągłą. Ogólnie rzecz biorąc, odwrotność nie jest prawdziwa. Jednak zgodnie z twierdzeniem Cantora, jeśli funkcja jest ciągła na zbiorze zwartym, czyli na przedziale domkniętym, to jest na nim jednostajnie ciągła.