Mnohostena. Druhy mnohostenov a ich vlastnosti

Mnohosteny nie sú prominentnou súčasťou iba vo formátegeometriu, ale tiež v každodennom živote každého človeka. Nehovoriac o umelo vytvorených predmetoch pre domácnosť v podobe rôznych mnohouholníkov, od zápalkovej škatule až po architektonické prvky, v prírode sa nachádzajú aj kryštály v podobe kocky (soľ), hranoly (krištáľ), pyramídy (scheelit), osemsten (diamant) atď. .d.

Pojem mnohostena, typy mnohostenov v geometrii

Geometria ako veda obsahuje časť o stereometrii,štúdium charakteristík a vlastností trojrozmerných postáv. Geometrické telesá, ktorých strany v trojrozmernom priestore tvoria ohraničené roviny (tváre), sa nazývajú „mnohosteny“. Typy mnohostenov majú viac ako tucet zástupcov, ktoré sa líšia počtom a tvarom tvárí.

Napriek tomu majú všetky mnohosteny spoločné vlastnosti:

1. Všetky majú 3 základné komponenty: tvár (povrch mnohouholníka), vrchol (rohy vytvorené na spojeniach tvárí), hrana (strana figúry alebo segment vytvorený na spojnici dvoch tvárí).
2. Každý okraj mnohouholníka spája dve a iba dve tváre, ktoré susedia navzájom.
3. Vydutie znamená, že telo je úplnenachádza sa iba na jednej strane roviny, na ktorej leží jedna z tvárí. Pravidlo platí pre všetky tváre mnohostena. Takéto geometrické tvary sa v stereometrii nazývajú konvexné mnohosteny. Výnimkou sú stellované mnohosteny, ktoré sú derivátmi pravidelných polyedrických geometrických telies.

Mnohosteny môžeme zhruba rozdeliť na:

1. Typy konvexných mnohostenov pozostávajúcich zz týchto tried: obyčajná alebo klasická (hranol, pyramída, rovnobežnosten), pravidelná (nazývaná aj platónska pevná látka), polo pravidelná (druhé meno je Archimedova pevná látka).
2. Nekonvexné mnohosteny (stellované).

Hranol a jeho vlastnosti

Stereometria ako odvetvie štúdií geometrievlastnosti trojrozmerných figúrok, typy mnohostenov (hranol medzi nimi). Geometrické teleso sa nazýva hranol, ktorý nevyhnutne má dve úplne identické tváre (nazývajú sa tiež základy) ležiace v rovnobežných rovinách a n-tý počet bočných plôch vo forme rovnobežníkov. Hranol má na oplátku aj niekoľko odrôd, vrátane takých druhov mnohostenov, ako sú:

1. Rovnobežník sa vytvorí, ak je na základni rovnobežník - mnohouholník s 2 pármi rovnakých opačných uhlov a dvoma pármi zhodných protiľahlých strán.
2. Rovný hranol má hrany kolmé na základňu.
3. Šikmý hranol sa vyznačuje prítomnosťou šikmých uhlov (iných ako 90) medzi okrajmi a základňou.
4. Pre pravidelný hranol sú charakteristické základy v podobe pravidelného mnohouholníka s rovnakými bočnými hranami.

Hlavné vlastnosti hranola:

• Zhodné základy.
• Všetky hrany hranola sú navzájom rovnaké a rovnobežné.
• Všetky bočné plochy majú tvar rovnobežníka.

pyramída

Pyramída je geometrické teleso, ktorésa skladá z jednej základne a z n-tého počtu trojuholníkových plôch spojených v jednom bode - vrchole. Je potrebné poznamenať, že ak sú bočné plochy pyramídy nevyhnutne predstavované trojuholníkmi, potom na základni môže byť buď trojuholníkový mnohouholník, alebo štvoruholník, alebo päťuholník, a tak ďalej do nekonečna. V takom prípade bude názov pyramídy zodpovedať mnohouholníku na základni. Napríklad ak trojuholník leží na spodku pyramídy, je to trojuholníková pyramída, štvoruholník je štvoruholník atď.

Pyramídy sú mnohosteny v tvare kužeľa. Typy mnohostenov tejto skupiny okrem vyššie uvedených zahŕňajú aj týchto zástupcov:

1. Pravidelná pyramída má na svojej základni pravidelný mnohouholník a jeho výška sa premieta do stredu kruhu vpísaného do základne alebo opísaného okolo nej.
2. Obdĺžniková pyramída sa vytvorí, keď sa jeden z bočných okrajov pretína so základňou v pravom uhle. V tomto prípade je tiež spravodlivé nazvať tento okraj výškou pyramídy.

Vlastnosti pyramídy:

• Ak sú všetky bočné hrany pyramídysú zhodné (rovnakej výšky), potom sa všetky pretínajú so základňou v rovnakom uhle a okolo základne môžete nakresliť kruh so stredom zhodným s priemetom vrcholu pyramídy.
• Ak pravidelný mnohouholník leží na spodku pyramídy, potom sú všetky bočné hrany zhodné a tváre sú rovnoramenné trojuholníky.

Pravidelný mnohosten: typy a vlastnosti mnohostena

V stereometrii je zvláštne miesto obsadenégeometrické telesá s absolútne rovnakými plochami, na vrcholoch ktorých je spojený rovnaký počet hrán. Tieto telesá sa nazývajú platonické pevné látky alebo obyčajné mnohosteny. Existuje iba päť druhov mnohosteny s takými vlastnosťami:

1. Štvorstenu.
2. Hexaedrón.
3. Osemstena.
4. Dodecahedron.
5. Ikosahedrón.

Pravidelné mnohosteny vďačia za svoje menostarogrécky filozof Platón, ktorý vo svojich dielach opísal tieto geometrické telesá a spojil ich s prírodnými živlami: zemou, vodou, ohňom, vzduchom. Piatej figúre bola pridelená podobnosť so štruktúrou vesmíru. Podľa jeho názoru atómy prírodných prvkov v tvare pripomínajú typy pravidelných mnohostenov. Vďaka svojej najvzrušujúcejšej vlastnosti, symetrii, boli tieto geometrické telá veľmi zaujímavé nielen pre starodávnych matematikov a filozofov, ale aj pre architektov, maliarov a sochárov všetkých čias. Za zásadný nález sa považovala prítomnosť iba 5 druhov mnohosteny s absolútnou symetriou, dokonca im bola udelená súvislosť s božským princípom.

Hexahedron a jeho vlastnosti

Platónovi nástupcovia v tvare šesťuholníkanaznačil podobnosť so štruktúrou atómov Zeme. Samozrejme, v súčasnosti bola táto hypotéza úplne vyvrátená, čo však nezabráni osobnostiam modernej doby priťahovať mysle slávnych osobností svojou estetikou.

V geometrii sa uvažuje o šesťuholníku, alias kockezvláštny prípad kvádra, ktorý je zase akýmsi hranolom. V súlade s tým vlastnosti kocky súvisia s vlastnosťami hranola s jediným rozdielom, že všetky plochy a uhly kocky sú navzájom rovnaké. Z toho vyplývajú nasledujúce vlastnosti:

1. Všetky hrany kocky sú zhodné a ležia vo vzájomných rovnobežných rovinách.
2. Všetky tváre sú kongruentné štvorce (v kocke je ich 6), z ktorých každý je možné brať ako základ.
3. Všetky uhly fazety sú 90.
4. Z každého vrcholu vychádza rovnaký počet hrán, konkrétne 3.
5. Kocka má 9 osí symetrie, ktoré sa všetky pretínajú v priesečníku uhlopriečok šesťuholníka, ktorý sa nazýva stred symetrie.

Štvorstenu

Štvorsten je štvorsten s rovnakými plochami vo forme trojuholníkov, z ktorých každý vrchol je spojovacím bodom troch tvárí.

Vlastnosti pravidelného štvorstenu:

1. Všetky tváre štvorstena sú rovnostranné trojuholníky, čo znamená, že všetky strany štvorstena sú zhodné.
2. Pretože základňa je reprezentovaná pravidelným geometrickým útvarom, to znamená, že má rovnaké strany, potom sa štvorsteny zbiehajú pod rovnakým uhlom, to znamená, že všetky uhly sú rovnaké.
3. Súčet plochých uhlov v každom z vrcholov je 180, pretože všetky uhly sú rovnaké, potom akýkoľvek uhol pravidelného štvorstenu je 60.
4. Každý z vrcholov sa premieta do priesečníka výšok opačnej (ortocentrickej) tváre.

Oktaédrón a jeho vlastnosti

Pri popise typov pravidelných mnohostenov nemožno zabudnúť na taký objekt, ako je osemsten, ktorý možno vizuálne znázorniť vo forme dvoch štvoruholníkových pravidelných pyramíd zlepených k základom.

Vlastnosti osemstena:

1. Už samotný názov geometrického telesa napovedápočet jej tvárí. Oktaédrón sa skladá z 8 zhodných rovnostranných trojuholníkov, na každom z ich vrcholov sa zbieha rovnaký počet tvárí, konkrétne 4.
2. Pretože sú všetky tváre osemstena rovnaké, jeho medzifázové uhly sú tiež rovnaké, pričom každý z nich je 60, a súčet plochých uhlov ktoréhokoľvek z vrcholov je teda 240.

Dodecahedron

Ak si predstavíme, že všetky tváre geometrického telesa sú pravidelným päťuholníkom, dostaneme dvanásťsten - figúru 12 polygónov.

Vlastnosti dodekaedónu:

1. Tri tváre sa pretínajú pri každom vrchole.
2. Všetky tváre sú rovnaké a majú rovnakú dĺžku a plochu okraja.
3. Dvanástnik má 15 osí a rovín symetrie a ktorákoľvek z nich prechádza vrcholom tváre a stredom protiľahlej hrany.

Icosahedron

Nemenej zaujímavé ako dodekahedron, ikosahedrón je trojrozmerné geometrické teleso s 20 rovnakými tvárami. Medzi vlastnosti pravidelného dvadsať hedronu patria:

1. Všetky tváre ikosahedónu sú rovnoramenné trojuholníky.
2. Päť tvárí sa zbieha v každom vrchole mnohostena a súčet susedných uhlov vrcholov je 300.
3. Ikosahedrón má rovnako ako dvanásťstredník 15 osí a rovín symetrie prechádzajúcich stredmi protiľahlých tvárí.

Polo pravidelné polygóny

Okrem platónskych pevných látok skupina konvexnýchMedzi mnohosteny patria aj archimédovské pevné látky, ktoré sú skrátené ako bežné mnohosteny. Typy mnohostenov tejto skupiny majú nasledujúce vlastnosti:

1. Geometrické telá majú párovo rovnaké tvárez niekoľkých typov, napríklad zrezaný štvorsten, rovnako ako bežný štvorsten, má 8 tvárí, ale v prípade Archimedovho tela budú 4 tváre trojuholníkové a 4 šesťuholníkové.
2. Všetky uhly jedného vrcholu sú zhodné.

Stelovaná mnohostena

Predstavitelia nevolumetrických typov geometrických telies- hviezdicovitý mnohosten, ktorého tváre sa navzájom pretínajú. Môžu byť vytvorené spojením dvoch pravidelných trojrozmerných telies alebo rozšírením ich tvárí.

Takéto stellované mnohosteny sú známe ako: stellated octahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.