Kurz matematiky pripravuje mnoho študentovprekvapenia, z ktorých jedným je problém teórie pravdepodobnosti. S riešením týchto úloh majú študenti problém takmer v sto percentách prípadov. Na pochopenie a pochopenie tohto problému musíte poznať základné pravidlá, axiómy, definície. Aby ste porozumeli textu v knihe, musíte poznať všetky skratky. To všetko sa učíme.
Pretože ponúkame havarijný kurz "teória."pravdepodobnosť pre figuríny “, musíte najskôr predstaviť základné pojmy a skratky písmen. Najprv definujeme samotný pojem „teória pravdepodobnosti“. Čo je to veda a prečo je to potrebné? Teória pravdepodobnosti je jedným z odvetví matematiky, ktorý študuje náhodné javy a veličiny. Zohľadňuje tiež vzory, vlastnosti a operácie vykonané s týmito náhodnými premennými. Na čo je to? Rozsiahla veda získaná pri štúdiu prírodných javov. Akékoľvek prírodné a fyzikálne procesy nie sú úplné bez prítomnosti náhody. Aj keď boli výsledky počas experimentu zaznamenané čo najpresnejšie, ak zopakujete rovnaký test, nie je pravdepodobné, že by bol rovnaký.
Príklady problémov teórie pravdepodobnostiurčite zvážte, môžete sa sami presvedčiť. Výsledok závisí od mnohých rôznych faktorov, ktoré je takmer nemožné vziať do úvahy alebo zaregistrovať, majú však obrovský vplyv na výsledok experimentu. Medzi živé príklady patrí úloha určiť trajektóriu planét alebo určiť predpoveď počasia, pravdepodobnosť stretnutia so známou osobou na ceste do práce a určenie výšky skoku atléta. Teória pravdepodobnosti je tiež veľkou pomocou pre maklérov na burzách. Problém teórie pravdepodobnosti, s riešením ktorého už predtým vyvstalo mnoho problémov, sa po troch alebo štyroch príkladoch uvedených nižšie stane pre vás iba maličkosťou.
Ako už bolo povedané, veda študuje udalosti.Teóriu pravdepodobnosti si ukážeme riešenie problémov o niečo neskôr, študujeme iba jeden typ - náhodný. Musíte však vedieť, že udalosti môžu byť troch typov:
Navrhujeme o každej z nich trochu diskutovať.Nemožná udalosť sa nikdy nestane, za žiadnych okolností. Príklady zahŕňajú: zmrazenie vody pri pozitívnych teplotách, vytiahnutie kocky z vrecka s guľkami.
Spoľahlivá udalosť sa stane vždy100% záruka pri splnení všetkých podmienok. Napríklad: dostali ste plat za vykonanú prácu, dostali diplom vyššieho odborného vzdelania, ak ste svedomite študovali, zložili skúšky a obhájili diplom a podobne.
S náhodnými udalosťami je to trochu komplikovanejšie:v priebehu experimentu sa to môže alebo nemusí stať, napríklad vytiahnutie esa z balíka kariet, ktoré by nemalo trvať viac ako tri pokusy. Výsledok je možné získať tak na prvý pokus, ako aj všeobecne. Je to pravdepodobnosť výskytu udalosti, ktorú veda študuje.
Vo všeobecnom zmysle ide o hodnotenie možnosti úspešnéhovýsledok skúsenosti, pri ktorej k udalosti došlo. Pravdepodobnosť sa hodnotí na kvalitatívnej úrovni, najmä ak je kvantifikácia nemožná alebo zložitá. Problém v teórii pravdepodobnosti s riešením, presnejšie s odhadom pravdepodobnosti udalosti, znamená nájsť veľmi možný podiel úspešného výsledku. Pravdepodobnosť v matematike je číselnou charakteristikou udalosti. Berie hodnoty od nuly do jedna, označené písmenom P. Ak sa P rovná nule, potom udalosť nemôže nastať, ak je jedna, dôjde k udalosti so stopercentnou pravdepodobnosťou. Čím viac P sa priblíži k jednej, tým väčšia je pravdepodobnosť úspešného výsledku a naopak, ak je blízka nule, potom sa udalosť vyskytne s nízkou pravdepodobnosťou.
Problém v teórii pravdepodobnosti, s ktorým sa čoskoro stretnete, môže obsahovať nasledujúce skratky:
Možné sú aj niektoré ďalšie:podľa potreby budú doplnené ďalšie vysvetlenia. Na úvod navrhujeme objasniť skratky uvedené vyššie. Prvý na našom zozname je faktoriál. Aby sme to objasnili, uveďme príklady: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 alebo 3! = 1 * 2 * 3. Ďalej sú dané množiny napísané zloženými zátvorkami, napríklad: {1; 2; 3; 4; ..; n} alebo {10; 140; 400; 562}. Ďalším označením je množina prirodzených čísel, ktorá je v úlohách z teórie pravdepodobnosti celkom bežná. Ako už bolo spomenuté, P je pravdepodobnosť a P (X) je pravdepodobnosť výskytu udalosti X. Udalosti sú označené veľkými písmenami latinskej abecedy, napríklad: A - bola chytená biela guľa, B - modrá, C - červená, respektíve. Malé písmeno n je počet všetkých možných výsledkov am je počet úspešných. Získame teda pravidlo na nájdenie klasickej pravdepodobnosti v elementárnych úlohách: Р = m / n. Teória pravdepodobnosti „pre figuríny“ sa pravdepodobne obmedzuje na tieto vedomosti. Teraz, aby sme konsolidovali, sa obrátime k riešeniu.
Skupinu študentov tvorí tridsať ľudí,z ktorých je potrebné zvoliť prednostu, jeho zástupcu a organizátora odborov. Musíte nájsť niekoľko spôsobov, ako urobiť túto akciu. Podobná úloha sa nachádza na skúške. Teória pravdepodobnosti, ktorej riešenie problémov teraz zvažujeme, môže obsahovať úlohy z kurzu kombinatoriky, hľadania klasickej pravdepodobnosti, geometrie a úloh pre základné vzorce. V tomto príklade riešime úlohu z kurzu kombinatoriky. Prejdime k riešeniu. Táto úloha je najjednoduchšia:
Ostáva nám už len nájsť možný počet možností, to znamená znásobiť všetky ukazovatele. Vo výsledku dostaneme: 30 * 29 * 28 = 24360.
To bude odpoveď na položenú otázku.
Na konferencii vystúpi 6 účastníkov, objednávkaurčené žrebom. Musíme nájsť počet možných možností žrebovania. V tomto príklade uvažujeme o permutácii šiestich prvkov, to znamená, že musíme nájsť 6!
V odseku o skratke sme už spomenuli, že je to taktoto a ako sa to počíta. Celkovo sa ukazuje, že existuje 720 možností kreslenia. Na prvý pohľad má zložitá úloha úplne krátke a jednoduché riešenie. Toto sú úlohy, ktoré zohľadňuje teória pravdepodobnosti. Na to, ako vyriešiť problémy vyššej úrovne, sa pozrieme v nasledujúcich príkladoch.
Skupina študentov s dvadsiatimi piatimi ľuďmitreba rozdeliť do troch podskupín po šesť, deväť a desať ľudí. Máme: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Zostáva dosadiť hodnoty do požadovaného vzorca, dostaneme: N25 (6,9,10). Po jednoduchých výpočtoch dostaneme odpoveď - 16 360 143 800. Ak úloha nehovorí o tom, že je potrebné získať numerické riešenie, môžete ju zadať vo forme faktoriálov.
Traja ľudia sa pýtali na čísla od jedna do desať.Nájdite pravdepodobnosť, že sa niekoho čísla budú zhodovať. Najprv musíme zistiť počet všetkých výsledkov - v našom prípade je to tisíc, teda desať až tretia mocnina. Teraz nájdeme počet možností, keď sa každý pýtal na iné čísla, preto vynásobíme desať, deväť a osem. Odkiaľ sa tieto čísla vzali? Prvý myslí na číslo, má desať možností, druhý už má deväť a tretí si musí vybrať z ôsmich zostávajúcich, takže dostaneme 720 možných možností. Ako sme vypočítali skôr, celkovo existuje 1000 variantov a 720 bez opakovaní, preto nás zaujíma zvyšných 280. Teraz potrebujeme vzorec na nájdenie klasickej pravdepodobnosti: P =. Dostali sme odpoveď: 0,28.
