ศูนย์ฟังก์ชันคืออะไรและจะกำหนดได้อย่างไร

ศูนย์ฟังก์ชันคืออะไร?คำตอบนั้นค่อนข้างง่าย - นี่คือคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งหมายถึงโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งค่าของมันเป็นศูนย์ ศูนย์ของฟังก์ชันเรียกอีกอย่างว่ารากของสมการ วิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายว่าเลขศูนย์คืออะไรคือตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการง่ายๆ y = x + 3 เนื่องจากศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ y ได้รับศูนย์เราจึงแทนที่ 0 ในด้านซ้ายของสมการ:

0 = x + 3;

x = -3.

ในกรณีนี้ -3 คือศูนย์ที่ต้องการ มีเพียงรากเดียวของสมการสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด แต่ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป

ลองพิจารณาอีกตัวอย่าง:

y = x²-9.

แทนที่ 0 ทางด้านซ้ายของสมการดังตัวอย่างก่อนหน้านี้:

0 = x²-เก้า;

-9 = x² .

เห็นได้ชัดว่าในกรณีนี้ค่าศูนย์ของฟังก์ชันจะเป็นสอง: x = 3 และ x = -3 ถ้าสมการมีอาร์กิวเมนต์ระดับที่สามจะมีศูนย์สามตัว ข้อสรุปง่ายๆสามารถทำได้ว่าจำนวนรากของพหุนามสอดคล้องกับระดับสูงสุดของอาร์กิวเมนต์ในสมการ อย่างไรก็ตามหลายฟังก์ชันเช่น y = x³ เมื่อมองแวบแรกขัดแย้งกับคำพูดนี้ตรรกะและสามัญสำนึกบอกว่าฟังก์ชันนี้มีเพียงศูนย์เดียว - ที่จุด x = 0 แต่อันที่จริงมีสามรากพวกมันบังเอิญทั้งหมด ถ้าคุณแก้สมการในรูปแบบที่ซับซ้อนมันจะชัดเจน x = 0 ในกรณีนี้รากที่มีการคูณเป็น 3 ในตัวอย่างก่อนหน้านี้เลขศูนย์ไม่ตรงกันดังนั้นจึงมีการคูณ 1

อัลกอริทึมสำหรับการกำหนด

ตัวอย่างที่ให้ไว้แสดงวิธีกำหนดค่าศูนย์ของฟังก์ชัน อัลกอริทึมจะเหมือนกันเสมอ:

1. เขียนฟังก์ชัน
2. แทน y หรือ f (x) = 0
3. แก้สมการผลลัพธ์

ความยากของจุดสุดท้ายขึ้นอยู่กับองศาอาร์กิวเมนต์ของสมการ เมื่อแก้สมการที่มีดีกรีสูงเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่ต้องจำไว้ว่าจำนวนรากของสมการเท่ากับระดับสูงสุดของอาร์กิวเมนต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการตรีโกณมิติซึ่งการหารทั้งสองส่วนด้วยไซน์หรือโคไซน์จะนำไปสู่การสูญเสียราก

สมการของปริญญาตามอำเภอใจนั้นง่ายที่สุดในการแก้โดยวิธีของ Horner ซึ่งได้รับการพัฒนาขึ้นโดยเฉพาะสำหรับการหาเลขศูนย์ของพหุนามโดยพลการ

ศูนย์ฟังก์ชันสามารถเป็นดังนี้ลบหรือบวกจริงหรือโกหกในระนาบเชิงซ้อนเดี่ยวหรือหลาย หรือรากของสมการอาจไม่มีอยู่จริง. ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน y = 8 ไม่ได้รับค่าศูนย์สำหรับ x ใด ๆ เนื่องจากไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปรนี้

สมการ y = x²-16 มีสองรากและทั้งคู่อยู่ในระนาบเชิงซ้อน: x₁= 4і, x₂= -4і.

ข้อผิดพลาดทั่วไป

ข้อผิดพลาดทั่วไปที่เด็กนักเรียนทำยังคงอยู่ไม่เข้าใจจริงๆว่าศูนย์ของฟังก์ชันกำลังแทนที่อาร์กิวเมนต์ (x) ด้วยศูนย์ไม่ใช่ค่า (y) ของฟังก์ชัน พวกเขาแทนที่ x = 0 ในสมการอย่างมั่นใจและจากนี้หา y แต่นี่เป็นแนวทางที่ผิด

ข้อผิดพลาดอีกประการหนึ่งดังที่ได้กล่าวไปแล้วคือการลดลงโดยไซน์หรือโคไซน์ในสมการตรีโกณมิติซึ่งเป็นสาเหตุที่สูญเสียศูนย์หนึ่งหรือมากกว่าของฟังก์ชัน นี่ไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีสิ่งใดสามารถยกเลิกได้ในสมการดังกล่าว แต่ในการคำนวณเพิ่มเติมจำเป็นต้องคำนึงถึงปัจจัยที่ "สูญหาย" เหล่านี้

การแสดงกราฟิก

เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันศูนย์คืออะไรคุณสามารถใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์เช่น Maple ในนั้นคุณสามารถสร้างกราฟโดยระบุจำนวนจุดที่ต้องการและมาตราส่วนที่ต้องการ จุดที่กราฟข้ามแกน OX คือศูนย์ที่ต้องการ นี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุดวิธีหนึ่งในการหารากของพหุนามโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าลำดับของมันสูงกว่าสาม ดังนั้นหากจำเป็นต้องทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์เป็นประจำให้ค้นหารากของพหุนามขององศาโดยพลการสร้างกราฟ Maple หรือโปรแกรมที่คล้ายกันจะเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับการดำเนินการและตรวจสอบการคำนวณ