ในขณะที่ยังเรียนอยู่ นักเรียนทุกคนจะคุ้นเคยกับแนวคิดนี้"เรขาคณิตแบบยุคลิด" ซึ่งเป็นบทบัญญัติหลักที่เน้นไปที่สัจพจน์หลายประการ โดยอิงตามองค์ประกอบทางเรขาคณิต เช่น จุด ระนาบ เส้น การเคลื่อนที่ ทั้งหมดนี้รวมกันเป็นสิ่งที่รู้จักกันมานานภายใต้คำว่า "พื้นที่แบบยุคลิด"
ช่องว่างแบบยุคลิดนิยามของที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เป็นกรณีพิเศษของสเปซเชิงเส้น (affine) ที่ตรงตามข้อกำหนดจำนวนหนึ่ง อย่างแรก ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์มีความสมมาตรอย่างยิ่ง นั่นคือ เวกเตอร์ที่มีพิกัด (x; y) นั้นเหมือนกันในเชิงปริมาณกับเวกเตอร์ที่มีพิกัด (y; x) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม
ประการที่สอง ในกรณีที่ดอทโปรดัคของเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง แล้วผลของการกระทำนี้จะเป็นบวก ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือกรณีที่พิกัดเริ่มต้นและสุดท้ายของเวกเตอร์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์: ในกรณีนี้ ผลคูณของตัวมันเองจะเท่ากับศูนย์ด้วย
ประการที่สาม มีการแจกจ่ายผลคูณสเกลาร์ กล่าวคือ ความเป็นไปได้ของการสลายตัวหนึ่งในพิกัดของมันเป็นผลรวมของสองค่า ซึ่งจะไม่นำมาซึ่งการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในผลลัพธ์สุดท้ายของการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ สุดท้าย ประการที่สี่ เมื่อเวกเตอร์คูณด้วยจำนวนจริงเดียวกัน ผลคูณของสเกลาร์ก็จะเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนเท่ากัน
ในกรณีที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสี่นี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าเรามีช่องว่างแบบยุคลิด
จากมุมมองเชิงปฏิบัติ พื้นที่แบบยุคลิดสามารถจำแนกได้โดยตัวอย่างเฉพาะต่อไปนี้:
พื้นที่ยุคลิดมีจำนวน hasคุณสมบัติเฉพาะ ประการแรก ปัจจัยสเกลาร์สามารถนำออกจากวงเล็บจากปัจจัยที่หนึ่งและที่สองของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ผลลัพธ์จะไม่ได้รับการเปลี่ยนแปลงใดๆ ประการที่สอง พร้อมกับการกระจายขององค์ประกอบแรกของดอทโปรดัค การกระจายขององค์ประกอบที่สองก็ทำหน้าที่เช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น นอกเหนือจากผลรวมสเกลาร์ของเวกเตอร์แล้ว การแจกแจงยังเกิดขึ้นในกรณีของการลบเวกเตอร์ด้วย สุดท้าย ประการที่สาม ด้วยการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ด้วย
ดังนั้น พื้นที่แบบยุคลิดคือแนวคิดทางเรขาคณิตที่สำคัญที่สุดที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยการจัดเรียงเวกเตอร์ร่วมกันที่สัมพันธ์กัน สำหรับการกำหนดลักษณะเฉพาะซึ่งแนวคิดเช่นผลิตภัณฑ์ดอทถูกนำมาใช้
