Довірчий інтервал прийшов до нас з областістатистики. Це певний діапазон, який служить для оцінки невідомого параметра з високим ступенем надійності. Найпростіше це буде пояснити на прикладі.
Припустимо, потрібно досліджувати будь-якувипадкову величину, наприклад, швидкість відгуку сервера на запит клієнта. Кожен раз, коли користувач набирає адресу конкретного сайту, сервер реагує на це з різною швидкістю. Таким чином, досліджуване час відгуку має випадковий характер. Так ось, довірчий інтервал дозволяє визначити межі цього параметра, і потім можна буде стверджувати, що з імовірністю в 95% швидкість реакції сервера буде перебувати в розрахованому нами діапазоні.
Або ж потрібно дізнатися, якій кількості людейвідомо про торгову марку фірми. Коли буде підрахований довірчий інтервал, то можна буде, наприклад, сказати що з 95% ймовірністю частка споживачів, які знають про дану торговельну марку, знаходиться в діапазоні від 27% до 34%.
З цим терміном тісно пов'язана така величина, якдовірча ймовірність. Вона являє собою ймовірність того, що шуканий параметр входить в довірчий інтервал. Від цієї величини залежить те, наскільки великим виявиться наш шуканий діапазон. Чим більше значення вона приймає, тим вже стає довірчий інтервал, і навпаки. Зазвичай її встановлюють рівній 90%, 95% або 99%. Величина 95% найбільш популярна.
На даний показник також впливаєдисперсія спостережень і розмір вибірки. Його визначення грунтується на тому припущенні, що досліджуваний ознака підпорядковується нормальному закону розподілу. Це твердження відоме також як Закон Гаусса. Згідно з ним, нормальним називається такий розподіл всіх ймовірностей неперервної випадкової величини, яке можна описати щільністю ймовірностей. Якщо припущення про нормальний розподіл виявилося помилковим, то оцінка може виявитися невірною.
Спочатку розберемося з тим, як обчислитидовірчий інтервал для математичного очікування. Тут можливі два випадки. Дисперсія (ступінь розкиду випадкової величини) може бути відома чи ні. Якщо вона відома, то наш довірчий інтервал обчислюється за допомогою наступної формули:
хср - t * σ / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * σ / (sqrt (n)), де
α - ознака,
t - параметр з таблиці розподілу Лапласа,
sqrt (n) - квадратний корінь загального обсягу вибірки,
σ - квадратний корінь дисперсії.
Якщо дисперсія невідома, то її можна розрахувати, якщо нам відомі всі значення шуканого ознаки. Для цього використовується наступна формула:
σ2 = х2ср - (хср) 2, де
х2ср - середнє значення квадратів досліджуваної ознаки,
(Хср) 2 - квадрат середнього значення цього показника.
Формула, за якою в цьому випадку розраховується довірчий інтервал трохи змінюється:
хср - t * s / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * s / (sqrt (n)), де
хср - вибіркове середнє,
α - ознака,
t - параметр, який знаходять за допомогою таблиці розподілу Стьюдента t = t (ɣ; n-1),
sqrt (n) - квадратний корінь загального обсягу вибірки,
s - квадратний корінь дисперсії.
Розглянь такий приклад.Припустимо, що за результатами 7 вимірів була визначена середня величина досліджуваної ознаки, що дорівнює 30 і дисперсія вибірки, що дорівнює 36. Потрібно знайти з ймовірністю в 99% довірчий інтервал, який містить істинне значення вимірюваного параметра.
Спочатку визначимо чому дорівнює t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Використовуємо наведену вище формулу, отримуємо:
хср - t * s / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * s / (sqrt (n))
30 - 3.71 * 36 / (sqrt (7)) <= α <= 30 + 3.71 * 36 / (sqrt (7))
21.587 <= α <= 38.413
Довірчий інтервал для дисперсіїрозраховується як у випадку з відомим середнім, так і тоді, коли немає ніяких даних про математичне сподівання, а відомо лише значення точкової несмещенной оцінки дисперсії. Ми не будемо наводити тут формули його розрахунку, так як вони досить складні і при бажанні їх завжди можна знайти в мережі.
Відзначимо лише, що довірчий інтервал зручно визначати за допомогою програми Excel або мережевого сервісу, який так і називається.
