Сучасні комп'ютери, засновані на «древніх»електронно-обчислювальних машинах, в якості базових принципів роботи спираються на певні постулати. Вони називаються закони алгебри логіки. Вперше подібна дисципліна була описана (звичайно, не настільки детально, як в сучасному вигляді) давньогрецьким вченим Арістотелем.
Представляючи собою окремий розділ математики, в рамках якого вивчається числення висловів, алгебра логіки має ряд чітко вибудуваних висновків.
З тим щоб краще розібратися в темі, розберемо поняття, які допоможуть надалі дізнатися закони алгебри логіки.
Мабуть, основний термін в досліджуваної дисципліни -висловлювання. Це таке собі твердження, яке не може бути одночасно хибним і істинним. Йому завжди властива лише одна з цих характеристик. При цьому умовно прийнято істинності надавати значення 1, хибності - 0, а саме висловлювання називати якоїсь латинською буквою: A, B, C. Інакше кажучи, формула A = 1 означає, що висловлювання А істинно. З висловлюваннями можна поступати самим різним чином. Коротенько розглянемо ті дії, які можна з ними робити. Відзначимо також, що закони алгебри логіки неможливо засвоїти, не знаючи цих правил.
1. Диз'юнкція двох висловлювань - результат операції «або». Може бути або помилковою, або істинною. Використовується символ «v».
2. Кон'юнкція. Результатом подібної дії, що здійснюється з двома висловлюваннями, стане нове висловлення, щире лише в разі, коли обидва вихідних висловлювання істинними. Використовується операція «і», символ «^».
3. Імплікація. Операція «якщо А, то В». Результатом є висловлювання, помилкове лише в разі істинності А і хибності В. Застосовується символ «->».
4. еквіваленціі. Операція «A тоді і тільки тоді В, коли». Дане висловлювання істинно в випадках, коли обидві змінні мають однакові оцінки. Використовується символ «<->».
Існує також ряд операцій, близьких до імплікації, але в даній статті вони розглянуті не будуть.
Тепер докладно розглянемо основні закони алгебри логіки:
1. комутативну або переместітельний говорить, що зміна місць логічних доданків в операціях кон'юнкції або диз'юнкції на результаті не позначається.
2. асоціативної або асоціативний. Згідно з цим законом, змінні в операціях кон'юнкції або диз'юнкції можна об'єднувати в групи.
3. Розподільчий або дистрибутивний. Суть закону в тому, що однакові змінні в рівняннях можна винести за дужки, не змінивши логіки.
4. Закон де Моргана (інверсії або заперечення).Заперечення операції кон'юнкції рівносильно диз'юнкції заперечення вихідних змінних. Заперечення від диз'юнкції, в свою чергу, так само кон'юнкції заперечення тих же змінних.
5. Подвійне заперечення. Заперечення якогось висловлювання двічі дає в результаті вихідне висловлювання, тричі - його заперечення.
6. Закон ідемпотентності виглядає наступним чином для логічного додавання: x v x v x v x = x; для множення: x ^ x ^ x ^ = x.
7. Закон несуперечливий говорить: два висловлювання, якщо вони суперечливі, одночасно бути істинними не можуть.
8. Закон виключення третього. Серед двох суперечливих висловлювань одне - завжди справжнє, інше - хибне, третього не дано.
9. Закон поглинання можна записати таким чином для логічного додавання: x v (x ^ y) = x, для множення: x ^ (x v y) = x.
10. Закон склеювання.Дві сусідні кон'юнкції здатні склеїтися, утворивши кон'юнкцію меншого рангу. При цьому та змінна, по якій вихідні кон'юнкції склеювалися, зникає. Приклад для логічного додавання:
(X ^ y) v (-x ^ y) = y.
Ми розглянули лише найбільш використовувані закониалгебри логіки, яких за фактом може бути багатьом більше, оскільки нерідко логічні рівняння набувають довгий і вигадливий вид, скоротити який можна, застосувавши ряд схожих законів.
Як правило, для зручності підрахунку і виявленнярезультатів використовуються спеціальні таблиці. Всі існуючі закони алгебри логіки, таблиця для яких має загальну структуру сіткового прямокутника, розписують, розподіляючи кожну змінну в окрему клітинку. Чим більше рівняння, тим простіше з ним впоратися, використовуючи таблиці.
