Поряд з похідними функцій їх диференціали - це одні з базових понять диференціальногообчислення, основного розділу математичного аналізу. Будучи нерозривно пов'язаними між собою, обидва вони вже кілька століть активно використовуються при вирішенні практично всіх завдань, які виникали в процесі науково-технічної діяльності людини.
Вперше роз'яснив, що таке диференціал, одинз творців (поряд з Ісааком Ньютоном) диференціального обчислення знаменитий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. До цього математиками 17 ст. використовувалося досить нечітке і розпливчасте уявлення про деяку нескінченно малої «неподільної» частини будь-якої відомої функції, що представляла дуже малу постійну величину, але не дорівнює нулю, менше якої значення функції бути просто не можуть. Звідси був всього один крок до запровадження подання про нескінченно малих збільшеннях аргументів функцій і відповідних їм збільшеннях самих функцій, які висловлюються через похідні останніх. І цей крок був зроблений практично одночасно двома вищезгаданими великими вченими.
Виходячи з необхідності вирішення нагальнихпрактичних завдань механіки, які ставила перед наукою бурхливо розвивається промисловість і техніка, Ньютон і Лейбніц створили спільні способи знаходження швидкості зміни функцій (насамперед стосовно механічної швидкості руху тіла по відомій траєкторії), що призвело до введення таких понять, як похідна і диференціал функції , а також знайшли алгоритм розв'язання оберненої задачі, як за відомою (змінної) швидкості знайти пройдений шлях, що привело до появи поняття інтеграла.
У працях Лейбніца і Ньютона вперше з'явилосяуявлення про те, що диференціали - це пропорційні приращениям аргументів Δх основні частини збільшень функцій Δу, які можуть бути з успіхом застосовані для обчислення значень останніх. Інакше кажучи, ними було відкрито, що приріст функції може бути в будь-якій точці (всередині області її визначення) виражено через її похідну як Δу = y "(x) Δх + αΔх, де α Δх - залишковий член, який прагне до нуля при Δх → 0, набагато швидше, ніж саме Δх.
Згідно основоположників матаналізу,диференціали - це якраз і є перші члени в виразах збільшень будь-яких функцій. Ще не володіючи чітко сформульованим поняттям межі послідовностей, вони інтуїтивно зрозуміли, що величина диференціала прагне до похідної функції при Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x).
На відміну від Ньютона, який був перш за всефізиком, і розглядав математичний апарат як допоміжний інструмент дослідження фізичних завдань, Лейбніц приділяв більшу увагу самій цій інструментарію, включаючи і систему наочних і зрозумілих позначень математичних величин. Саме він запропонував загальноприйняті позначення диференціалів функції dy = y "(x) dx, аргументу dx і похідної функції у вигляді їх відносини y" (x) = dy / dx.
Що таке диференціал з точки зору сучасної математики? Він тісно пов'язаний з поняттям приросту змінної величини. Якщо змінна y приймає спочатку значення y = y1, А потім y = y2, То різниця y2 ─ y1 називається приростом величини y.
Якщо величину Δу довільної функції y = f (x)можливо уявити у вигляді Δу = A Δх + α, де у A немає залежності від Δх, т. е. A = const при даному х, а доданок α при Δх → 0 прагне до нього ж ще швидше, ніж саме Δх, тоді перший ( «головний») член, пропорційний Δх, і є для y = f (x) диференціалом, що позначається dy або df (x) (читається «де ігрек», «де еф від ікс»). Тому диференціали - це «головні» лінійні щодо Δх складові збільшень функцій.
Нехай s = f (t) - відстань прямолінійнорухається матеріальної точки від початкового положення (t - час перебування в дорозі). Приріст Δs - це шлях точки за інтервал часу Δt, а диференціал ds = f "(t) Δt - це шлях, який точка пройшла б за той же час Δt, якби вона зберегла швидкість f" (t), досягнуту до моменту t . При нескінченно малому Δt уявний шлях ds відрізняється від істинного Δs на нескінченно малу величину, що має вищий порядок щодо Δt. Якщо швидкість в момент t не дорівнює нулю, то ds дає наближену величину малого зміщення точки.
Нехай лінія L є графіком y = f (x).Тоді Δ х = MQ, Δу = QM "(див. Малюнок нижче). Дотична MN розбиває відрізок Δу на дві частини, QN і NM". Перша пропорційна Δх і дорівнює QN = MQ ∙ tg (кута QMN) = Δх f "(x), т. Е QN є диференціал dy.
Друга частина NM "дає різницю Δу ─ dy, при Δх → 0довжина NM "зменшується ще швидше, ніж приріст аргументу, тобто у неї порядок малості вище, ніж у Δх. В даному випадку, при f" (x) ≠ 0 (дотична не паралельна ОХ), відрізки QM "і QN еквівалентні; іншими словами NM "зменшується швидше (порядок малості її вище), ніж повний приріст Δу = QM". Це видно на малюнку (з наближенням M "до М відрізок NM" становить все менший відсоток відрізка QM ").
Отже, графічно диференціал довільної функції дорівнює величині приросту ординати її дотичній.
Коефіцієнт A в першому доданку виразу приросту функції дорівнює величині її похідної f "(x). Таким чином, має місце наступне співвідношення - dy = f" (x) Δх, або ж df (x) = f "(x) Δх.
Відомо, що збільшення незалежного аргументу одно його диференціалу Δх = dx. Відповідно, можна написати: f "(x) dx = dy.
Знаходження (іноді кажуть, «рішення») диференціалів виконується за тими ж правилами, що і для похідних. Перелік їх наведено нижче.
Тут необхідно зробити деякі пояснення.Подання величиною f "(x) Δх диференціала можливо при розгляді х в якості аргументу. Але функція може бути складною, в якій х може бути функцією деякого аргументу t. Тоді уявлення диференціала виразом f" (x) Δх, як правило, неможливо; крім випадку лінійної залежності х = at + b.
Що ж стосується формули f "(x) dx = dy, то і в разі незалежного аргументу х (тоді dx = Δх), і в разі параметричної залежності х від t, вона являє диференціал.
Наприклад, вираз 2 x Δх представляє для y = x2 її диференціал, коли х є аргумент. Покладемо тепер х = t2 і будемо вважати t аргументом. Тоді y = x2 = t4.
Далі слід (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2. Звідси Δх = 2tΔt + Δt2. Значить: 2xΔх = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).
Цей вислів не пропорційно Δt і тому тепер 2xΔх не є диференціалом. Його можна знайти з рівняння y = x2 = t4. Він виявляється дорівнює dy = 4t3Δt.
Якщо ж взяти вираз 2xdx, то воно являє диференціал y = x2 при будь-якому аргументі t. Дійсно, при х = t2 отримаємо dx = 2tΔt.
Значить 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, т. Е. Вираження диференціалів, записані через дві різні змінні, збіглися.
Якщо f "(x) ≠ 0, то Δу і dy еквівалентні (при Δх → 0); при f" (x) = 0 (що означає і dy = 0), вони не еквівалентні.
Наприклад, якщо y = x2, То Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔх + Δх2, А dy = 2xΔх. Якщо х = 3, то маємо Δу = 6Δх + Δх2 і dy = 6Δх, які еквівалентні внаслідок Δх2→ 0, при х = 0 величини Δу = Δх2 і dy = 0 не еквівалентні.
Цей факт, разом з простою структуроюдиференціала (т. е. лінійності по відношенню до Δх), часто використовується в наближених обчисленнях, в припущенні, що Δу ≈ dy для малих Δх. Знайти диференціал функції, як правило, легше, ніж обчислити точне значення приросту.
Наприклад, маємо металевий куб з ребром х = 10,00 см. При нагріванні ребро подовжився на Δх = 0,001 см. Наскільки збільшився обсяг V куба? Маємо V = х2, Так що dV = 3x2Δх = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (див3). Збільшення обсягу ΔV еквівалентно диференціалу dV, так що ΔV = 3 см3. Повний обчислення дало б ΔV = 10,013 ─ 103 = 3,003001. Але в цьому результаті все цифри, крім першої ненадійні; значить, все одно, потрібно округлити його до 3 см3.
Очевидно, що такий підхід є корисним, тільки якщо можливо оцінити величину вноситься при цьому помилки.
Спробуємо знайти диференціал функції y = x3, Не знаходячи похідною. Дамо аргументу приріст і визначимо Δу.
Δу = (Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δх + (3xΔх2 + Δх3).
Тут коефіцієнт A = 3x2 не залежить від Δх, так що перший член пропорційний Δх, інший же член 3xΔх2 + Δх3 при Δх → 0 зменшується швидше, ніж приріст аргументу. Стало бути, член 3x2Δх є диференціал y = x3:
dy = 3x2Δх = 3x2dx або ж d (x3) = 3x2dx.
При цьому d (x3) / Dx = 3x2.
Знайдемо тепер dy функції y = 1 / x через її похідну. Тоді d (1 / x) / dx = ─1 / г2. Тому dy = ─ Δх / г2.
Диференціали основних алгебраїчних функцій наведені нижче.
Обчислити функцію f (x), а також її похідну f "(x) при x = a часто неважко, а от зробити те ж саме в околиці точки x = a буває нелегко. Тоді на допомогу приходить наближене вираження
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).
Воно дає наближене значення функції при малих збільшеннях Δх через її диференціал f "(a) Δх.
Отже, дана формула дає наближеневираз для функції в кінцевій точці деякого ділянки довжиною Δх у вигляді суми її значення в початковій точці цієї ділянки (x = a) і диференціала в тій самій початковій точці. Похибка такого способу визначення значення функції ілюструє малюнок нижче.
Однак відомо і влучний вислів значення функції для x = a + Δх, що дається формулою кінцевих збільшень (або, інакше, формулою Лагранжа)
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
де точка x = a + ξ знаходиться на відрізку від x = aдо x = a + Δх, хоча точне положення її невідомо. Точна формула дозволяє оцінювати похибка наближеної формули. Якщо ж у формулі Лагранжа покласти ξ = Δх / 2, то хоча вона і перестає бути точною, але дає, як правило, набагато краще наближення, ніж вихідне вираз через диференціал.
Вимірювальні інструменти в принципі неточні, іпривносять в дані вимірювань, відповідні помилки. Їх характеризують граничної абсолютної похибкою, або, коротше, граничною похибкою - позитивним числом, свідомо перевищує цю помилку за абсолютною величиною (або в крайньому випадку рівним їй). Граничною відносною похибкою називають частка від її поділу на абсолютне значення виміряної величини.
Нехай точна формула y = f (x) використана длявичісляенія функції y, але значення x є результат вимірювання і тому привносить в y помилку. Тоді, щоб знайти граничну абсолютну похибку │Δу│функціі y, використовують формулу
│Δу│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δх│,
де │Δх│является граничною похибкою аргументу. Величину │Δу│ слід округлити в сторону збільшення, тому що неточною є сама заміна обчислення приросту на обчислення диференціала.
