В училище всички ученици се запознават с концепцията"Евклидова геометрия", основните положения на която са фокусирани около няколко аксиоми, основани на такива геометрични елементи като точка, равнина, права линия и движения. Всички те заедно образуват това, което отдавна е известно с термина "евклидово пространство".
Евклидово пространство, определение которого въз основа на изявлението за скаларно умножение на вектори, това е специален случай на линейно (аффинно) пространство, което удовлетворява редица изисквания. Първо, скаларният продукт на векторите е абсолютно симетричен, тоест вектор с координати (x; y) е количествено идентичен на вектор с координати (y; x), но е противоположен по посока.
Второ, ако е произведеноскаларен продукт на вектор със себе си, тогава резултатът от това действие ще бъде положителен. Единственото изключение ще бъде случаят, когато началната и крайната координата на този вектор е равна на нула: в този случай произведението от него със себе си ще бъде равно на нула.
В-третьих, имеет место дистрибутивность скаларен продукт, тоест възможността за разлагане на една от неговите координати в сумата от две стойности, което няма да доведе до промени в крайния резултат от скаларно умножение на векторите. И накрая, четвърто, когато векторите се умножат по едно и също реално число, скаларният им продукт също ще се увеличи със същото количество.
В случай, че всички тези четири условия са изпълнени, можем с увереност да кажем, че имаме евклидово пространство.
Евклидовото пространство от практическа гледна точка може да се характеризира със следните конкретни примери:
Евклидово пространство обладает целым рядом специфични свойства. Първо, скаларният фактор може да бъде изваден от скоби както от първия, така и от втория фактор на скаларния продукт, резултатът от това няма да претърпи никакви промени. Второ, наред с разпределението на първия елемент на скаларен продукт, действа и разпределителността на втория елемент. Освен това, в допълнение към скаларната сума от вектори, разпределението се извършва и в случай на изваждане на вектори. Накрая, трето, при скаларно умножение на вектор по нула, резултатът също ще бъде нулев.
Таким образом, евклидово пространство – это най-важната геометрична концепция, използвана за решаване на задачи с взаимното подреждане на вектори един спрямо друг, за характеризирането на които се използва такова понятие като скаларен продукт.
