Polyhedra. Druhy polyhedry a jejich vlastnosti

Polyhedra nejen zaujímá významné místo vgeometrie, ale také v každodenním životě každého člověka. V přírodě se nemluvě o uměle vytvořených domácích předmětech ve formě různých polygonů, počínaje krabicí od zápalek a konče architektonickými prvky, krystaly ve formě krychle (sůl), hranoly (krystaly), pyramidy (scheelit), oktaedron (kosočtverec) atd. d.

Pojem polyhedron, typy polyhedronů v geometrii

Geometrie jako věda obsahuje sekci o stereometrii,studium charakteristik a vlastností trojrozměrných postav. Geometrická těla, jejichž strany v trojrozměrném prostoru jsou tvořeny omezenými rovinami (plochami), se nazývají „polyhedra“. Druhy polyhedry mají více než tucet zástupců lišících se počtem a tvarem tváří.

Nicméně všechny polyhedrony mají společné vlastnosti:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента:plocha (polygonový povrch), vrchol (úhly vytvořené na spoji čel), okraj (strana obrázku nebo segment vytvořený na spoji dvou ploch).
2. Každá hrana mnohoúhelníku spojuje dvě a pouze dvě plochy, které jsou vedle sebe.
3. Выпуклость означает, что тело полностью nachází se pouze na jedné straně roviny, na které leží jedna z ploch. Toto pravidlo platí pro všechny tváře mnohostěnu. Takové geometrické útvary ve stereometrii se nazývají termínem konvexní polyhedra. Výjimkou je stellated polyhedra, které jsou deriváty pravidelných polyhedrálních geometrických těles.

Polyhedra lze rozdělit na:

1. Druhy konvexní mnohostěny sestávající zz těchto tříd: obyčejné nebo klasické (hranol, pyramida, rovnoběžnost), pravidelné (také nazývané platonické pevné látky), polopravidelné (druhé jméno - Archimedeanova těla).
2. Nekonvexní polyhedra (ve tvaru hvězdy).

Hranol a jeho vlastnosti

Stereometrie jako část geometrických studiívlastnosti trojrozměrných postav, typy polyhedry (mezi nimi hranol). Hranol je geometrické těleso, které má dvě absolutně identické plochy (nazývají se také základny) ležící v rovnoběžných rovinách a n-tý počet bočních ploch ve tvaru rovnoběžníků. Hranol má zase několik odrůd, včetně takových typů polyhedry jako:

1. Je-li na základně rovnoběžník, vznikne rovnoběžník - mnohoúhelník se dvěma páry stejných protilehlých úhlů a dvěma páry shodných protilehlých stran.
2. Přímý hranol má žebra kolmá k základně.
3. Nakloněný hranol je charakterizován přítomností nepřímých úhlů (jiných než 90) mezi plochami a základnou.
4. Pravidelný hranol je charakterizován základnami ve formě pravidelného mnohoúhelníku se stejnými bočními plochami.

Hlavní vlastnosti hranolu:

• Shodná půda.
• Všechny hrany hranolu jsou stejné a vzájemně rovnoběžné.
• Všechny boční plochy jsou ve tvaru rovnoběžníku.

Pyramida

Pyramida je geometrické tělo, kterésestává z jedné základny az devátého počtu trojúhelníkových ploch spojujících se v jednom bodě - vrchol. Je třeba poznamenat, že pokud jsou boční plochy pyramidy nezbytně reprezentovány trojúhelníky, pak na základně může být trojúhelníkový mnohoúhelník, čtyřúhelník a pětiúhelník, a tak dále do nekonečna. V tomto případě bude jméno pyramidy odpovídat polygonu na základně. Pokud například trojúhelník leží na základně pyramidy, jedná se o trojúhelníkovou pyramidu, čtyřúhelník je čtyřúhelník atd.

Pyramidy jsou polyhedra ve tvaru kužele. Mezi typy polyhedry této skupiny patří kromě výše uvedených také následující zástupci:

1. Pravidelná pyramida má na základně pravidelný mnohoúhelník a jeho výška je promítnuta do středu kruhu, který je v základně vyrytý nebo je kolem něj popsán.
2. Obdélníková pyramida je vytvořena, když jedna z bočních hran protíná základnu v pravém úhlu. V tomto případě se tato hrana také právem nazývá výška pyramidy.

Vlastnosti pyramidy:

• V případě, že všechny boční hrany pyramidyjsou shodné (ve stejné výšce), pak se všechny protínají se základnou ve stejném úhlu a kolem základny můžete nakreslit kruh se středem, který se shoduje s promítáním vrcholu pyramidy.
• Pokud pravidelný mnohoúhelník leží na základně pyramidy, všechny boční okraje jsou shodné a plochy jsou rovnoramenné trojúhelníky.

Pravidelný mnohostěn: typy a vlastnosti mnohostěnů

Ve stereometrii zaujímá zvláštní místogeometrická tělesa s naprosto stejnými plochami, na jejichž vrcholech se spojuje stejný počet hran. Tato těla se nazývají platonické pevné látky nebo obyčejná mnohostěna. Druhy polyhedry s takovými vlastnostmi mají pouze pět čísel:

1. Tetrahedron
2. Hexahedron
3. Octahedron
4. Dodecahedron
5. Icosahedron

Správné mnohostěny jsou povinny svým jménemstarověkého řeckého filozofa Platóna, který ve svých dílech popsal tato geometrická těla a spojil je s přírodními prvky: zemí, vodou, ohněm, vzduchem. Pátá postava získala podobnost se strukturou vesmíru. Podle jeho názoru se atomy přírodních prvků ve formě podobají typům pravidelného mnohostěnu. Kvůli jejich nejzajímavější symetrii vlastností byla tato geometrická těla velmi zajímavá nejen pro starověké matematiky a filozofy, ale také pro architekty, umělce a sochaře všech dob. Přítomnost pouhých 5 typů polyhedry s absolutní symetrií byla považována za zásadní nález, dokonce jim byla udělena souvislost s božským principem.

Hexahedron a jeho vlastnosti

Šestiúhelníkový nástupce Platapřevzal podobnost se strukturou atomů Země. V současné době je ovšem tato hypotéza zcela vyvrácena, což však nebrání postavám, aby v moderní době přitahovaly mysl slavných osobností svou estetikou.

V geometrii, hexahedron, aka kostka, je zvažovánzvláštní případ rovnoběžníku, což je zase druh hranolu. V souladu s tím jsou vlastnosti krychle spojeny s vlastnostmi hranolu, přičemž jediný rozdíl spočívá v tom, že všechny plochy a úhly krychle jsou si navzájem stejné. Z toho vyplývají následující vlastnosti:

1. Všechny hrany krychle jsou shodné a leží proti sobě v rovnoběžných rovinách.
2. Všechny tváře jsou shodné čtverce (v kostce je celkem 6), z nichž každý lze považovat za základ.
3. Všechny úhly rozhraní jsou 90.
4. Z každého vrcholu vychází stejný počet hran, konkrétně 3.
5. Krychle má 9 os symetrie, které se všechny protínají v průsečících úhlopříček hexahedronu, nazývaných střed symetrie.

Tetrahedron

Tetrahedron je čtyřstěn se stejnými plochami ve tvaru trojúhelníků, z nichž každý z vrcholů je spojovacím bodem tří tváří.

Vlastnosti pravidelného čtyřstěnu:

1. Všechny tváře čtyřstěnu jsou rovnostranné trojúhelníky, což znamená, že všechny tváře čtyřstěnu jsou shodné.
2. Protože základna je reprezentována pravidelným geometrickým obrazcem, to znamená, že má stejné strany, tváře čtyřstěnu se sbíhají ve stejném úhlu, to znamená, že všechny úhly jsou stejné.
3. Součet plochých úhlů v každém vrcholu je 180, protože všechny úhly jsou stejné, pak jakýkoli úhel pravidelného čtyřstěnu je 60.
4. Každý z vrcholů je promítnut do průsečíku výšek protilehlé (pravoúhlé) plochy.

Octahedron a jeho vlastnosti

Při popisu typů pravidelných mnohostěnů si člověk nemůže všimnout takového předmětu, jako je osmistěn, který lze vizuálně znázornit jako dva kvadrangulární pravidelné pyramidy slepené základnami.

Octahedron Vlastnosti:

1. Název samotného geometrického těla naznačujepočet jeho tváří. Osmiúhelník se skládá z 8 shodných rovnostranných trojúhelníků, z nichž každý z vrcholů konverguje stejný počet ploch, a to 4.
2. Protože jsou všechny tváře osmičků stejné, jsou jeho mezikroužkové úhly stejné, z nichž každá je 60, a součet plochých úhlů kteréhokoli z vrcholů je tedy 240.

Dodecahedron

Pokud si představujete, že všechny tváře geometrického těla jsou pravidelným pětiúhelníkem, získáte dodekandedron - postavu 12 polygonů.

Vlastnosti dodekohedronu:

1. V každém vrcholu se protínají tři tváře.
2. Všechny plochy jsou stejné a mají stejnou délku hran a stejnou plochu.
3. Dodecahedron má 15 os a rovin souměrnosti a každá z nich prochází horní částí obličeje a středem protilehlé hrany.

Icosahedron

Neméně zajímavé než dodekandron, icosahedronová postava je trojrozměrné geometrické tělo s 20 stejnými tvářemi. Mezi vlastnosti pravidelného hexahedronu patří:

1. Všechny tváře ikosedronu jsou rovnoramenné trojúhelníky.
2. V každém vrcholu mnohostěnu se sbíhá pět obličejů a součet sousedních vrcholů je 300.
3. Icosahedron má, stejně jako dodekandron, 15 os a rovin symetrie procházejících středními body protilehlých obličejů.

Polopravidelné polygony

Kromě platonických pevných látek ve skupině konvexníchpolyhedra také zahrnuje Archimedean těla, který být zkrácen normální polyhedra. Druhy polyhedry této skupiny mají následující vlastnosti:

1. Geometrická těla mají stejné páry v párechu několika typů, například, zkrácený čtyřstěn má 8 obličejů stejným způsobem jako normální čtyřstěn, ale v případě archimedovského těla budou 4 obličeje trojúhelníkové a 4 obličeje šestihranné.
2. Všechny úhly jednoho vrcholu jsou shodné.

Hvězdné mnohostěny

Zástupci objemných typů geometrických těles- hvězdná polyhedra, jejíž plochy se protínají. Mohou být tvořeny sloučením dvou pravidelných trojrozměrných těl nebo v důsledku pokračování jejich tváří.

Takovéto hvězdné polyhedry jsou známé jako: hvězdné formy oktaedronu, dodekahedronu, ikosahedronu, cuboctahedronu, ikosododecahedronu.