Jak najít minimální a maximální body funkce: funkce, metody a příklady

Funkce a studium jeho vlastností trvájedna z klíčových kapitol v moderní matematice. Hlavní složkou libovolné funkce jsou grafy, které představují nejen její vlastnosti, ale také parametry derivace této funkce. Podívejme se na toto obtížné téma. Takže, jak nejlépe najít maximální a minimální body funkce?

Funkce: Definice

Jakákoli proměnná, která nějak závisí na hodnotách jiného množství, může být nazývána funkcí. Například funkce f (x²) je kvadratická a určuje hodnoty pro celou sadu x. Předpokládejme, že x = 9, potom bude hodnota naší funkce 9²= 81.

Funkce mohou být jakéhokoli druhu:logický, vektorový, logaritmický, trigonometrický, numerický a další. Studovali tak vynikající mysl jako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Jejich práce slouží jako pevnost v moderních způsobech studia funkcí. Před nalezením minimálních bodů je velmi důležité pochopit samotný význam funkce a jejího derivátu.

Derivát a jeho role

Všechny funkce jsou závislé na jejich funkciproměnné, což znamená, že mohou kdykoli změnit svou hodnotu. Na grafu to bude reprezentováno jako křivka, která se potom spustí, pak se zvedne podél osy (to je celá sada číslic "y" podél svislice grafu). Definice bodu maxima a minima funkce je tedy spjata s těmito "kolísáními". Vysvětlíme, jaký je tento vztah.

Odvození libovolné funkce je vykresleno na grafus cílem studovat jeho hlavní charakteristiky a vypočítat, jak rychle se funkce změní (tj. změní její hodnotu v závislosti na proměnné "x"). V době, kdy se funkce zvyšuje, se také zvýší graf jeho derivátu, avšak za jakoukoli sekundu se funkce může začít snížit a potom se derivátový graf sníží. Body, od kterých derivát přechází od znaménka mínus k znaménku plus, se nazývají minimální body. Abyste věděli, jak najít minimální body, měli byste lépe porozumět pojetí derivátu.

Jak vypočítat derivát?

Definice a výpočet derivátu funkcezahrnuje několik konceptů z diferenciálního počtu. Obecně platí, že samotná definice derivátu může být vyjádřena následovně: je to hodnota, která udává rychlost změny funkce.

Matematický způsob, jak ji definovat pro mnohéstudenti vypadají komplikovaně, ale ve skutečnosti je vše mnohem jednodušší. Je nutné pouze dodržovat standardní plán pro nalezení derivátu jakékoliv funkce. Níže popisujeme, jak lze najít minimální bod funkce, aniž bychom použili pravidla diferenciace a aniž bychom se naučili derivační tabulku.

1. Odvození funkce lze vypočítat pomocígrafiky. Chcete-li to provést, musíte funkci zastupovat sama, a pak na ni zaujměte jediný bod (bod A na obr.). Svisle směrem dolů nakreslete čáru na osu úsečky (bod x₀) a v bodě A nakreslete tečnu k grafufunkce. Osa úsečky a tangenta tvoří úhel a. Chcete-li vypočítat hodnotu, jak rychle roste funkce, je nutné vypočítat tečnu tohoto úhlu a.
2. Ukazuje se, že dotyčnice úhlu mezi dotyčnicí aSměr osy x je derivátem funkce na malé části s bodem A. Tato metoda je považována za geometrický způsob určení derivátu.

Metody zkoumání funkce

Ve školním matematickém programu je to možnénalezení minimálního bodu funkce dvěma způsoby. První metoda s pomocí grafu, který jsme již rozložili, ale jak zjistíme číselnou hodnotu derivátu? Chcete-li to provést, musíte se naučit několik vzorců, které popisují vlastnosti derivátu a pomáhají převádět proměnné typu "x" na čísla. Následující metoda je univerzální, takže ji lze aplikovat na téměř všechny druhy funkcí (geometrické i logaritmické).

1. Je nutné, aby se rovnaly funkci pro derivaci funkce a zjednodušit výraz, pomocí pravidla diferenciace.
2. V některých případech, pokud je funkce zadána, vproměnná "x" stojí v děliči, je nutné určit rozsah přípustných hodnot, s výjimkou bodu "0" z toho (z jednoduchého důvodu, že v matematice nelze v žádném případě rozdělit na nulu).
3. Poté je nutné transformovat původní formu funkce na jednoduchou rovnici, která rovná celému výrazu na nulu. Například pokud funkce vypadá takto: f (x) = 2x³+ 38x, potom podle pravidel diferenciace se jeho derivát rovná f "(x) = 3x²+1. Pak tento výraz transformujeme do rovnice následující formy: 3x²+1 = 0.
4. Po vyřešení rovnice a nalezení bodů "x"je nutné je znázornit na osi úsečky a určit, zda je derivát v těchto úsecích mezi označenými body pozitivní nebo negativní. Po zápisu je jasné, v jakém bodě se funkce začíná snižovat, to znamená, že změní znaménko od negativního na negativní. Tímto způsobem naleznete minimální i maximální body.

Pravidla diferenciace

Nejzákladnější součástí studie funkce ujeho derivát - znalost pravidel diferenciace. Pouze s jejich pomocí je možné transformovat těžkopádné výrazy a velké komplexní funkce. Pojďme se na ně podívat, je jich mnoho, ale všechny z nich jsou velmi jednoduché díky přírodním vlastnostem obou síly a logaritmických funkcí.

1. Odvozená konstanta se rovná nule (f (x) = 0). To je derivát f (x) = x⁵+ x - 160 bude mít formu: f "(x) = 5x⁴+1.
2. Derivát součtu dvou výrazů: (f + w) "= f" w + fw ".
3. Derivát logaritmické funkce: (log_ad) "= d / ln a * d Tento vzorec platí pro všechny typy logaritmu.
4. Derivace stupně: (x^Pane) "= n * x^n-1. Například (9x²) "= 9 x 2x = 18x.
5. Derivát sinusové funkce: (sin a) "= cos a. Pokud je sin v úhlu a 0,5, potom jeho derivát je rovný √3 / 2.

Extrémní body

Jsme již vyřešili, jak najít minimální body,Existuje však koncept maximálních bodů funkce. Pokud minima označuje ty body, při kterých se funkce změní z znaménka mínus na znaménko plus, pak body maxima jsou ty body na úsečce, na kterých se derivát funkce změní z plus na negativní mínus.

Maximální body můžete najít podle výše popsané metody, ale měli byste si všimnout, že označují ty části, u kterých se funkce začíná snižovat, to znamená, že derivát bude menší než nula.

V matematice je běžné generalizovat oba pojmy,nahradit je výrazem "extremum points". Když je úloha vyzvána k určení těchto bodů, znamená to, že je nutné vypočítat derivát dané funkce a najít minimální a maximální body.