Vzhledem k nejjednodušší trigonometrické funkci y = sin (x),je v každém z jeho bodů diferencovaný od celé domény definice. Je nutné prokázat, že derivát sinusu jakéhokoli argumentu je rovný kosinusu ve stejném úhlu, tj. Y = cos (x).
Důkaz je založen na definici derivátu funkce
Definujeme x (libovolný) v nějakém malém okolí Δx určitého bodu x0. Ukažme hodnotu funkce v ní a v bodě x zjistíme přírůstek dané funkce. Pokud Δx je přírůstek argumentu, pak nový argument je x0+ Δx = x, hodnota této funkce pro danou hodnotu argumentu y (x) je Sin (x0+ Δx), hodnota funkce v určitém bodě y (x0).
Teď máme Δy = Sin (x0+ Δx) -Sin (x0) Je přírůstek funkce.
Podle sinusového vzorce součtu dvou nerovných úhlů změníme rozdíl Δy.
Δy = sin (x0) · Cos (Δx) + Cos (x0) · Sin (Δx) minus Sin (x0) = (Cos (Δx) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) Sin (Δx).
Provedli permutaci termínů, seskupili první s třetím Sin (x0), nesl společný násobitel - sinus - pro závorky.Získali jsme ve výrazu rozdíl Cos (Δx) -1. Zbývá změnit označení před konzolou a v závorkách. Když víme, co je 1-Cos (Δx), děláme substituci a získáme zjednodušený výraz Δy, který pak rozdělíme Δx.
Δy / Δx bude mít podobu: Cos (x0) · Sin (Δx) / Δx-2 · Sin2(0,5 · Δx) · Sin (x0) / Δx. To je poměr přírůstku funkce k povolenému přírůstku argumentu.
Zbývá nalézt limit poměru lim získaného pro Δx tendenci k nule.
Je známo, že mezní sin (Δx) / Δx se rovná 1, za těchto podmínek. A výraz 2 · Sin2(0,5 · Δx) / Δx v získaném částečném součtutransformace na produkt obsahující jako násobitel první pozoruhodný limit: čitatel a jmenovatel frakce jsou děleny dvěma, čtverec sinusu nahrazen produktem. Zde:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Mezní hodnota tohoto výrazu pro Δx, která má nulovou hodnotu, se rovná číslu nula (1 vynásobená číslem 0). Z toho vyplývá, že mez poměru Δy / Δx je roven Cos (x0) · 1-0, to je Cos (x0), Jehož exprese je nezávislá na Ah sklon k 0. Závěr: derivát sinu jakéhokoliv úhlu se rovná kosinus x x, může být zapsán jako: y ‚= cos (x).
Výsledný vzorec je zadán do známé tabulky derivátů, kde jsou všechny elementární funkce
Při řešení problémů, kde dochází k derivovánísinus, můžete z tabulky použít pravidla diferenciace a hotové vzorce. Například: najděte derivát nejjednodušší funkce y = 3 · Sin (x) -15. Používáme elementární pravidla diferenciace, odstranění číselného faktoru za znakem derivátu a výpočet derivátu konstantního čísla (je to nula). Použijeme tabulkovou hodnotu derivátu sinusu úhlu x, který se rovná Cos (x). Získáme odpověď: y "= 3 · Cos (x) - 0. Tento derivát je zase také elementární funkcí y = 3 · Cos (x).
Derivát sinusu je čtvercový od jakéhokoli argumentu
Při výpočtu tohoto výrazu (Sin2(x)) ', je třeba připomenout, jak je diferencovaná komplexní funkce. Takže y = Sin2(x) je výkonová funkce, protože sinus je čtvercový. Její argument je také trigonometrická funkce, komplexní argument.Výsledek v tomto případě se rovná produktu, jehož prvním faktorem je derivát čtverce daného komplexního argumentu a druhý je derivát sinusu. Zde je pravidlo pro odlišení funkce od funkce: (v (x))) je (u (v (x))) "(v (x) ) Pokud je zadána funkce "igrok se rovná sinusu ve čtverci x", derivát této komplexní funkce je y "= 2 · Sin (x) · Cos (x). V produktu je první dvojnásobný multiplikátor derivátem známé funkce výkonu a Cos (x) je derivátem sinusu, argument komplexní kvadratické funkce. Konečný výsledek může být transformován pomocí trigonometrické sinusové rovnice dvojitého úhlu. Odpověď: derivát je Sin (2 · x). Tento vzorec je snadno zapamatovatelný, často se používá jako tabulkový.
