Kontinuální funkce

Kontinuální funkce je funkcebez "skoků", tj. pro které je podmínka splněna: malé změny v argumentu jsou následovány malými změnami v odpovídajících hodnotách funkce. Graf této funkce je hladká nebo kontinuální křivka.

Kontinuita v místě, limit pro některésady mohou být definovány pomocí konceptu limitu, a to: funkce musí mít v tomto bodě limit, který se rovná jeho hodnotě v mezním bodě.

Pokud jsou tyto podmínky v určitém okamžiku porušeny,říkáme, že funkce na daném místě trpí diskontinuitou, tj. její kontinuita je narušena. V limitu jazyka může být bod nespojitosti popsán jako nesoulad hodnoty funkce v diskontinuálním bodě s limitem funkce (pokud existuje).

Pro tento účel může být vyloučen bod nespojitostiJe nutné mít limit funkce, ale neshoduje se s její hodnotou v daném okamžiku. V tomto případě může být v tomto okamžiku "opraveno", tj. Může být rozšířeno na kontinuitu.
Je-li limit funkce na daném místě neexistuje, vznikne zcela jiný obraz. Existují dva možné varianty zlomových bodů:

• prvního druhu - oba jednostranné limity existují a jsou konečné a hodnota jedné nebo obou z nich se neshoduje s hodnotou funkce v daném okamžiku;
• druhého druhu, kdy jeden nebo oba jednostranné limity neexistují nebo jejich hodnoty jsou nekonečné.

Vlastnosti spojitých funkcí

• Funkce získaná v důsledku aritmetických operací, stejně jako superpozice spojitých funkcí na jejich doméně definice, je také kontinuální.
• Pokud je daná spojitá funkce, která je v určitém okamžiku pozitivní, pak je vždy možné najít dostatečně malou čtvrť, na níž si zachovává své znamení.
• Podobně, pokud jsou jeho hodnoty ve dvou bodech A a Bjsou příslušné a a b a a se liší od b, pak pro mezilehlé body bere všechny hodnoty z intervalu (a; b). Odtud můžeme nakreslit zajímavý závěr: pokud udělíme roztaženou pryžovou pásku, aby se zmenšila, aby nezůstala (zůstala rovná), zůstane jeden z jejích bodů pevný. A geometricky to znamená, že existuje přímka procházející jakýmkoli mezilehlým bodem mezi A a B, který protíná graf funkce.

Poznamenáváme některé z kontinuálních (v oblasti jejich definice) elementárních funkcí:

• konstantní;
• racionální;
• trigonometrická.

Mezi dvěma základními pojmy vmatematika - kontinuita a diferenciabilita - existuje neoddělitelná vazba. Postačí pouze připomenout, že pro diferenciabilitu funkce je nutné, aby to byla kontinuální funkce.

Je-li funkce v určitém bodě diferencovaná, je kontinuální. Není však nutné, aby byl jeho derivát spojitý.

Funkce, která má na nějaké saděkontinuální derivát, patří do samostatné třídy hladkých funkcí. Jinými slovy, je to průběžně diferencovatelná funkce. Pokud má derivát omezený počet bodů zlomu (pouze prvního druhu), pak se podobná funkce nazývá částečně hladká.

Další důležitou koncepcí matematické analýzyje jednotná kontinuita funkce, tj. její schopnost být stejně nepřetržitá v libovolném bodě ve své doméně definice. Proto je tato vlastnost považována za množinu bodů a nikoli za samostatnou.

Pokud opravíte bod, nebudete to mítJiná, jako definice kontinuity, tj. Existence jednotné kontinuity, znamená, že máme před sebou kontinuální funkci. Obecně řečeno, konverzace není pravdivá. Nicméně, podle Cantorovy věty, je-li funkce spojitá na kompaktu, tedy v uzavřeném intervalu, je na ní rovnoměrně spojitá.