Bisector af en trekant og dens egenskaber

Blandt de mange varergymnasium er sådan som "geometri". Det antages traditionelt, at forfædrene til denne systematiske videnskab er grækere. I dag kaldes græsk geometri elementær, da det var hun, der begyndte studiet af de enkleste former: fly, lige linjer, regelmæssige polygoner og trekanter. Vi vil stoppe vores opmærksomhed på sidstnævnte og mere præcist på halvering af dette tal. For dem, der allerede har glemt, er en trekants halvering et segment af halvdelen af ​​et af trekantens hjørner, der deler den i halvdelen og forbinder toppunktet til et punkt, der ligger på den modsatte side.

Halvdelen af ​​en trekant har et antal egenskaber, som du har brug for at vide, når du løser visse problemer:

• Vinkelens halvering er det geometriske sted for de punkter, der er lige i ens afstand fra siderne ved siden af ​​hjørnet.
• Halvdelet i trekanten deler det modsattefra hjørnesiden til segmenter, der er proportionale med de tilstødende sider. F.eks. Givet en trekant MKB, hvor en halvdel kommer ud af vinklen K, der forbinder denne vinkel med toppunktet A på den modsatte side af MB. Efter at have analyseret denne egenskab og vores trekant har vi MA / AB = MK / KB.
• Det punkt, hvor halvdelene af trekantens tre vinkler skærer hinanden, er midten af ​​cirklen, der er indskrevet i den samme trekant.
• Bunden af ​​halvdelene i en udvendig og to indvendige vinkler er på den samme linje, forudsat at halvvinklen til den ydre vinkel ikke er parallel med den modsatte side af trekanten.
• Hvis to halvlinjer af en trekant er ens, er denne trekant ensben.

Det skal bemærkes, at hvis der gives tre halvlinjer, er det umuligt at konstruere en trekant ud fra dem, selv ved hjælp af et kompas.

Meget ofte, når du løser bisektorproblemertrekanten er ukendt, men det er nødvendigt at bestemme dens længde. For at løse dette problem skal du kende den vinkel, der er delt i halvdelen af ​​halvdelen og siderne ved siden af ​​denne vinkel. I dette tilfælde defineres den ønskede længde som forholdet mellem dobbeltproduktet af siderne ved siden af ​​hjørnet og kosinus af vinklen delt i halvdelen til summen af ​​siderne ved siden af ​​hjørnet. For eksempel givet den samme MKB trekant. Halvdelingen forlader vinklen K og skærer den modsatte side af MV ved punkt A. Vinklen, hvorfra halvdelet forlader, angives med y. Nu skriver vi ned alt, hvad der siges med ord i form af formlen: KA = (2 * MK * KB * cos y / 2) / (MK + KB).

Hvis størrelsen på den vinkel, hvorfrabisektoren i trekanten er ukendt, men alle dens sider er kendte, så til at beregne halvdelens længde, bruger vi en ekstra variabel, som vi vil kalde semipreterimeteren og betegne den med bogstavet P: P = 1/2 * (MK + KB + MB). Derefter vil vi foretage nogle ændringer af den forrige formel, der bestemte længden af ​​bisektoren, nemlig i tælleren for fraktionen lægger vi den dobbelte firkantede rod af produktet af længderne på siderne ved siden af ​​hjørnet med halvmeter og kvotient, hvor længden på den tredje side trækkes fra halvmeteren. Nævneren forbliver uændret. I form af en formel ser det sådan ud: KA = 2 * √ (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).

Halvlinjen i en højre trekant haralle de samme egenskaber som i den sædvanlige. Men ud over de allerede kendte er der en ny: halveringene af de akutte vinkler i en retvinklet trekant i skæringspunktet danner en vinkel på 45 grader. Om nødvendigt kan dette let bevises ved hjælp af egenskaberne for en trekant og tilstødende vinkler.

Halvlinjen i en ensartet trekant sammen medhar flere af dets fælles egenskaber. Husk, hvad denne trekant er. I en sådan trekant er de to sider lige, og vinklerne ved siden af ​​basen er lige. Det følger heraf, at halvdelene, der falder på siderne af en ensartet trekant, er lig med hinanden. Derudover er halvlinien, der sænkes ned til basen, både højden og medianen.