Πολυέδρα. Τύποι πολυέδρας και οι ιδιότητές τους

Η Polyhedra δεν καταλαμβάνει μόνο μια εξέχουσα θέση στογεωμετρία, αλλά και στην καθημερινή ζωή κάθε ατόμου. Για να μην αναφέρουμε τα τεχνητά δημιουργημένα είδη οικιακής χρήσης με τη μορφή διαφόρων πολυγώνων, ξεκινώντας από ένα σπίρτο και τελειώνοντας με αρχιτεκτονικά στοιχεία, κρύσταλλοι με τη μορφή κύβου (αλάτι), πρίσματα (κρύσταλλο), πυραμίδες (σχιλίτης), οκταέδρα (διαμάντι) κ.λπ. βρίσκονται επίσης στη φύση. δ.

Η έννοια ενός πολυέδρου, τύποι πολυεδρών στη γεωμετρία

Η γεωμετρία ως επιστήμη περιέχει ένα τμήμα στη στερεομετρία,μελετώντας τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των τρισδιάστατων μορφών. Τα γεωμετρικά σώματα των οποίων οι πλευρές στον τρισδιάστατο χώρο σχηματίζονται από περιορισμένα επίπεδα (όψεις) ονομάζονται πολυέδρα. Οι τύποι πολυέδρας έχουν περισσότερους από δώδεκα αντιπροσώπους, που διαφέρουν ως προς τον αριθμό και το σχήμα των προσώπων.

Παρ 'όλα αυτά, όλα τα πολυέδρονα έχουν κοινές ιδιότητες:

1. Όλα έχουν 3 αναπόσπαστα συστατικά:μια όψη (επιφάνεια πολυγώνου), μια κορυφή (γωνίες που σχηματίζονται στη διασταύρωση των όψεων), μια άκρη (πλευρά του σχήματος ή ένα τμήμα που σχηματίζεται στη διασταύρωση δύο όψεων).
2. Κάθε άκρο του πολυγώνου συνδέει δύο, και μόνο δύο όψεις, οι οποίες γειτνιάζουν το ένα με το άλλο.
3. Η διόγκωση σημαίνει ότι το σώμα είναι εντελώςβρίσκεται μόνο στη μία πλευρά του αεροπλάνου στο οποίο βρίσκεται ένα από τα πρόσωπα. Ο κανόνας ισχύει για όλες τις όψεις ενός πολυεδρού. Τέτοιες γεωμετρικές μορφές στη στερεομετρία ονομάζονται όρος κυρτή πολυέδρα. Η εξαίρεση είναι το stellate polyhedra, τα οποία είναι παράγωγα κανονικών πολυεδρικών γεωμετρικών σωμάτων.

Το Polyhedra μπορεί να χωριστεί σε:

1. Τύποι κυρτής πολυέδρας που αποτελείται απότων ακόλουθων τάξεων: συνηθισμένα ή κλασικά (πρίσμα, πυραμίδα, παράλληλη διοχέτευση), κανονικά (ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά), ημι-κανονικά (δεύτερο όνομα - Αρχιμήδη σώματα).
2. Μη κυρτή πολυέδρα (σε σχήμα αστεριού).

Πρίσμα και οι ιδιότητές του

Η στερεομετρία ως τμήμα μελετών γεωμετρίαςιδιότητες τρισδιάστατων μορφών, τύποι πολυέδρας (μεταξύ τους πρίσμα). Ένα πρίσμα είναι ένα γεωμετρικό σώμα που έχει δύο απολύτως πανομοιότυπα πρόσωπα (ονομάζονται επίσης βάσεις) που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και τον ένατο αριθμό πλευρικών όψεων με τη μορφή παραλληλόγραμμων. Με τη σειρά του, το πρίσμα έχει επίσης διάφορες ποικιλίες, συμπεριλαμβανομένων αυτών των τύπων πολυέδρας όπως:

1. Ένα παραλληλεπίπεδο - σχηματίζεται εάν ένα παραλληλόγραμμο βρίσκεται στη βάση - ένα πολύγωνο με 2 ζεύγη ίσων αντίθετων γωνιών και δύο ζεύγη ομοιόμορφων απέναντι πλευρών.
2. Το άμεσο πρίσμα έχει νευρώσεις κάθετα στη βάση.
3. Ένα κεκλιμένο πρίσμα χαρακτηρίζεται από την παρουσία έμμεσων γωνιών (εκτός των 90) μεταξύ των όψεων και της βάσης.
4. Ένα κανονικό πρίσμα χαρακτηρίζεται από βάσεις με τη μορφή κανονικού πολυγώνου με ίσες πλευρικές όψεις.

Οι κύριες ιδιότητες του πρίσματος:

• Συγκεντρωτικοί λόγοι.
• Όλα τα άκρα του πρίσματος είναι ίσα και παράλληλα μεταξύ τους.
• Όλες οι πλευρικές όψεις έχουν σχήμα παραλληλόγραμμου.

Πυραμίδα

Μια πυραμίδα είναι ένα γεωμετρικό σώμα πουαποτελείται από μία βάση και από τον ένατο αριθμό τριγωνικών όψεων που συνδέονται σε ένα σημείο - την κορυφή. Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας αντιπροσωπεύονται απαραιτήτως από τρίγωνα, τότε στη βάση μπορεί να υπάρχει ένα τριγωνικό πολύγωνο, ένα τετράγωνο και ένα πεντάγωνο, και ούτω καθεξής στο άπειρο. Σε αυτήν την περίπτωση, το όνομα της πυραμίδας θα αντιστοιχεί στο πολύγωνο στη βάση. Για παράδειγμα, εάν ένα τρίγωνο βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, είναι μια τριγωνική πυραμίδα, ένα τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο και ούτω καθεξής.

Οι πυραμίδες είναι κώνου σε σχήμα πολυέδρας. Οι τύποι πολυέδρας αυτής της ομάδας, εκτός από τα παραπάνω, περιλαμβάνουν επίσης τους ακόλουθους εκπροσώπους:

1. Μια κανονική πυραμίδα έχει ένα κανονικό πολύγωνο στη βάση και το ύψος της προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου στη βάση ή περιμετρικά γύρω του.
2. Μια ορθογώνια πυραμίδα σχηματίζεται όταν ένα από τα πλευρικά άκρα τέμνει τη βάση σε ορθή γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό το άκρο μπορεί επίσης να ονομαστεί το ύψος της πυραμίδας.

Ιδιότητες πυραμίδας:

• Σε περίπτωση που όλες οι πλευρικές άκρες της πυραμίδαςσύμφωνο (του ίδιου ύψους), τότε όλα τέμνονται με τη βάση στην ίδια γωνία, και γύρω από τη βάση μπορείτε να σχεδιάσετε έναν κύκλο με ένα κέντρο που συμπίπτει με την προβολή της κορυφής της πυραμίδας.
• Εάν η βάση της πυραμίδας είναι ένα κανονικό πολύγωνο, τότε όλες οι πλευρικές άκρες είναι ομοιόμορφες και τα πρόσωπα είναι ισοσκελή τρίγωνα.

Κανονικός πολυέδρος: τύποι και ιδιότητες των πολυεδρών

Στη στερεομετρία, ένα ειδικό μέρος καταλαμβάνεται απόγεωμετρικά σώματα με όψεις απόλυτα ίσες μεταξύ τους, στις κορυφές των οποίων συνδέεται ο ίδιος αριθμός ακμών. Αυτά τα σώματα ονομάζονται πλατωνικά στερεά ή κανονική πολυέδρα. Οι τύποι πολυέδρας με τέτοιες ιδιότητες έχουν μόνο πέντε σχήματα:

1. Τετράεδρο.
2. Εξαχέδρον
3. Οκτάεδρο.
4. Δωδεκάεδρο.
5. Ίκοσαχρον

Τα σωστά πολυεδρόνια υποχρεούνται από το όνομά τουςο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Πλάτων, ο οποίος περιέγραψε αυτά τα γεωμετρικά σώματα στα έργα του και τα συνέδεσε με τα φυσικά στοιχεία: γη, νερό, φωτιά, αέρα. Στην πέμπτη φιγούρα δόθηκε ομοιότητα με τη δομή του σύμπαντος. Κατά τη γνώμη του, τα άτομα των φυσικών στοιχείων σε σχήμα μοιάζουν με τους τύπους της κανονικής πολυέδρας. Λόγω της πιο συναρπαστικής τους ιδιότητας - συμμετρίας, αυτά τα γεωμετρικά σώματα είχαν μεγάλο ενδιαφέρον όχι μόνο για τους αρχαίους μαθηματικούς και τους φιλόσοφους, αλλά και για τους αρχιτέκτονες, τους καλλιτέχνες και τους γλύπτες όλων των εποχών. Η παρουσία μόνο 5 τύπων πολυέδρας με απόλυτη συμμετρία θεωρήθηκε θεμελιώδες εύρημα, τους απονεμήθηκε ακόμη και μια σύνδεση με τη θεϊκή αρχή.

Hexahedron και οι ιδιότητές του

Εξάγωνο διάδοχο του Πλάτωναανέλαβε ομοιότητα με τη δομή των ατόμων της γης. Φυσικά, προς το παρόν, αυτή η υπόθεση διαψεύδεται εντελώς, η οποία, ωστόσο, δεν εμποδίζει τις φιγούρες να προσελκύσουν το μυαλό των διάσημων μορφών με την αισθητική τους στη σύγχρονη εποχή.

Στη γεωμετρία, θεωρείται το εξάεδρο, γνωστό και ως κύβοςμια ειδική θήκη ενός κουτιού, η οποία, με τη σειρά της, είναι ένα είδος πρίσματος. Κατά συνέπεια, οι ιδιότητες του κύβου συνδέονται με τις ιδιότητες του πρίσματος με τη μόνη διαφορά ότι όλες οι όψεις και οι γωνίες του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους. Οι ακόλουθες ιδιότητες ακολουθούν από αυτό:

1. Όλα τα άκρα του κύβου είναι ομοιόμορφα και βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα το ένα με το άλλο.
2. Όλα τα πρόσωπα είναι συμπαγή τετράγωνα (υπάρχουν 6 συνολικά σε έναν κύβο), οποιοδήποτε από τα οποία μπορεί να ληφθεί ως βάση.
3. Όλες οι γωνίες διεπαφής είναι 90.
4. Ένας ίσος αριθμός ακμών βγαίνει από κάθε κορυφή, δηλαδή 3.
5. Ο κύβος έχει 9 άξονες συμμετρίας, οι οποίοι τέμνονται όλοι στη διασταύρωση των διαγώνων του εξαχρονίου, που ονομάζεται κέντρο συμμετρίας.

Τετράεδρο

Ένα τετράεδρο είναι ένα τετράεδρο με ίσες όψεις σε σχήμα τριγώνων, καθεμία από τις κορυφές των οποίων είναι ένα σημείο σύνδεσης τριών όψεων.

Ιδιότητες ενός κανονικού τετραέδρου:

1. Όλες οι όψεις ενός τετράεδρο είναι ισόπλευρα τρίγωνα, πράγμα που σημαίνει ότι όλες οι όψεις ενός τετράεδρου είναι σύμφωνες.
2. Δεδομένου ότι η βάση αντιπροσωπεύεται από ένα κανονικό γεωμετρικό σχήμα, δηλαδή έχει ίσες πλευρές, οι όψεις του τετραέδρου συγκλίνουν στην ίδια γωνία, δηλαδή όλες οι γωνίες είναι ίσες.
3. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε μία από τις κορυφές είναι 180, καθώς όλες οι γωνίες είναι ίσες, τότε οποιαδήποτε γωνία του κανονικού τετραέδρου είναι 60.
4. Κάθε μία από τις κορυφές προβάλλεται στο σημείο τομής των υψών της απέναντι (ορθοκεντρικής) όψης.

Οκταέδρα και οι ιδιότητές του

Περιγράφοντας τους τύπους της κανονικής πολυέδρας, δεν μπορεί κανείς να παραλείψει να παρατηρήσει ένα αντικείμενο όπως το οκτάεδρο, το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως δύο τετράγωνες κανονικές πυραμίδες κολλημένες μεταξύ τους από τις βάσεις.

Ιδιότητες Οκταέδρου:

1. Το ίδιο το όνομα του γεωμετρικού σώματος υποδηλώνειτον αριθμό των προσώπων του. Το οκτάεδρο αποτελείται από 8 σύμφωνη ισόπλευρα τρίγωνα, σε καθεμία από τις κορυφές των οποίων συγκλίνει ίσος αριθμός προσώπων, δηλαδή 4.
2. Δεδομένου ότι όλες οι όψεις του οκταέδρου είναι ίσες, οι διαθερμικές γωνίες του είναι ίσες, καθεμία από τις οποίες είναι 60 και το άθροισμα των επίπεδων γωνιών οποιασδήποτε από τις κορυφές είναι, συνεπώς, 240.

Δωδεκάεδρο

Εάν φαντάζεστε ότι όλα τα πρόσωπα ενός γεωμετρικού σώματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, θα πάρετε ένα δωδεκάεδρο - μια μορφή 12 πολυγώνων.

Ιδιότητες Dodecahedron:

1. Σε κάθε κορυφή, τέμνονται τρία πρόσωπα.
2. Όλες οι όψεις είναι ίσες και έχουν το ίδιο μήκος άκρων, καθώς και ίση επιφάνεια.
3. Το δωδεκάεδρο έχει 15 άξονες και επίπεδα συμμετρίας, και οποιοδήποτε από αυτά περνά μέσα από την κορυφή του προσώπου και τη μέση του αντίθετου άκρου.

Ίκοσαχρον

Όχι λιγότερο ενδιαφέρον από το δωδεκαέδρον, το σχήμα icosahedron είναι ένα τρισδιάστατο γεωμετρικό σώμα με 20 ίσες όψεις. Μεταξύ των ιδιοτήτων ενός κανονικού εξαεδρούνα είναι τα ακόλουθα:

1. Όλα τα πρόσωπα του icosahedron είναι ισοσκελή τρίγωνα.
2. Πέντε όψεις συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του πολυεδρού και το άθροισμα των γειτονικών γωνιών κορυφής είναι 300.
3. Το icosahedron έχει, όπως το δωδεκάεδρο, 15 άξονες και επίπεδα συμμετρίας που διέρχονται από τα μεσαία σημεία των απέναντι όψεων.

Ημι-κανονικά πολύγωνα

Εκτός από τα πλατωνικά στερεά, στην ομάδα των κυρτώνΗ πολυέδρα περιλαμβάνει επίσης Αρχιμήδη σώματα, τα οποία είναι συντετμημένα κανονικά πολυέδρα. Οι τύποι πολυέδρας αυτής της ομάδας έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Τα γεωμετρικά σώματα έχουν ίσα πρόσωπα σε ζευγάριαδιαφόρων τύπων, για παράδειγμα, ένα περικομμένο τετράεδρο έχει 8 όψεις με τον ίδιο τρόπο όπως ένα κανονικό τετράεδρο, αλλά στην περίπτωση ενός Αρχιμήδη σώματος, 4 όψεις θα είναι τριγωνικές και 4 όψεις θα είναι εξαγωνικές.
2. Όλες οι γωνίες μιας κορυφής είναι σύμφωνες.

Αστέρια πολυέδρων

Εκπρόσωποι ογκωδών τύπων γεωμετρικών σωμάτων- stellate polyhedra, τα πρόσωπα των οποίων τέμνονται μεταξύ τους. Μπορούν να σχηματιστούν με τη συγχώνευση δύο τακτικών τρισδιάστατων σωμάτων ή ως αποτέλεσμα της συνέχισης των προσώπων τους.

Επομένως, τέτοια αστρική πολυεδρία είναι γνωστά ως: μορφές αστρικού άκρου του οκταέδρου, δωδεκαεδρόν, icosahedron, cuboctahedron, icosododecahedron.