Το παράγωγο ορισμένης συνάρτησης f (x) σε ένα συγκεκριμένοτο σημείο x0 είναι το όριο της σχέσης μεταξύ της ανάπτυξης της συνάρτησης και της ανάπτυξης του ορίσματος, υπό την προϋπόθεση ότι το x ακολουθεί στο 0 και το όριο υπάρχει. Το παράγωγο δηλώνεται συνήθως με ένα πρώτο, μερικές φορές με μια τελεία ή μέσω ενός διαφορικού. Συχνά, η εγγραφή παραγώγων πέρα από τα σύνορα είναι παραπλανητική, καθώς μια τέτοια αναπαράσταση χρησιμοποιείται εξαιρετικά σπάνια.
Μια συνάρτηση που έχει ένα παράγωγο σε ένα συγκεκριμένοσημείο x0, καλείται διαφοροποιήσιμο σε τέτοιο σημείο. Ας υποθέσουμε ότι το D1 είναι το σύνολο σημείων στα οποία διαφοροποιείται η συνάρτηση f. Αντιστοιχίζοντας σε κάθε αριθμό τον αριθμό x που ανήκει στο D f ’(x), λαμβάνουμε μια συνάρτηση με την ένδειξη D1. Αυτή η συνάρτηση είναι το παράγωγο του y = f (x). Ορίζεται ως εξής: f ’(x).
Επιπλέον, το παράγωγο χρησιμοποιείται ευρέως στοφυσική και τεχνολογία. Εξετάστε το απλούστερο παράδειγμα. Το σημείο υλικού κινείται κατά μήκος της συντεταγμένης ευθεία και ορίζεται ο νόμος της κίνησης, δηλαδή, η συντεταγμένη x αυτού του σημείου είναι η γνωστή συνάρτηση x (t). Με το χρονικό διάστημα από t0 έως t0 + t, η κίνηση του σημείου είναι x (t0 + t) -x (t0) = x και η μέση ταχύτητα v (t) είναι x / t.
Μερικές φορές η φύση του κινήματος παρουσιάζεται έτσι ώστε ότανγια μικρές χρονικές περιόδους, η μέση ταχύτητα δεν αλλάζει, πράγμα που σημαίνει ότι η κίνηση θεωρείται ομοιόμορφη με μεγαλύτερο βαθμό ακρίβειας. Ή η τιμή της μέσης ταχύτητας, εάν το t0 ακολουθεί κάποια απολύτως ακριβή τιμή, η οποία ονομάζεται στιγμιαία ταχύτητα v (t0) αυτού του σημείου σε μια συγκεκριμένη στιγμή του χρόνου t0. Πιστεύεται ότι η στιγμιαία ταχύτητα v (t) είναι γνωστή για οποιαδήποτε διαφοροποιημένη συνάρτηση x (t), με το v (t) να είναι ίσο με x '(t). Με απλά λόγια, η ταχύτητα είναι παράγωγο μιας συντεταγμένης χρόνου.
Η στιγμιαία ταχύτητα έχει θετική καιαρνητικές τιμές, καθώς και 0. Εάν είναι θετικό σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα (t1; t2), τότε το σημείο κινείται προς την ίδια κατεύθυνση, δηλαδή, η συντεταγμένη x (t) αυξάνεται με τον χρόνο και εάν το v (t) είναι αρνητικό, τότε η συντεταγμένη x (t) μειώνεται.
Σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις, το σημείο κινείται σε αεροπλάνο ή στο διάστημα. Στη συνέχεια, η ταχύτητα είναι μια ποσότητα φορέα και καθορίζει καθεμία από τις συντεταγμένες του διανύσματος v (t).
Ομοίως, μπορεί να συγκριθεί με την επιτάχυνσησημείο κίνησης. Η ταχύτητα είναι συνάρτηση του χρόνου, δηλ. V = v (t). Και το παράγωγο μιας τέτοιας συνάρτησης είναι η επιτάχυνση της κίνησης: a = v ’(t). Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι το παράγωγο της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο είναι μια επιτάχυνση.
Ας υποθέσουμε ότι y = f (x) - οποιαδήποτε διαφοροποιημένηλειτουργία. Τότε μπορούμε να εξετάσουμε την κίνηση του σημείου υλικού κατά μήκος της γραμμής συντεταγμένων, η οποία εμφανίζεται πίσω από το νόμο x = f (t). Το μηχανικό περιεχόμενο του παραγώγου καθιστά δυνατή την παρουσίαση μιας οπτικής ερμηνείας των διαφορικών λογιστικών θεωρημάτων.
Πώς να βρείτε ένα παράγωγο; Η εύρεση του παραγώγου μιας συνάρτησης ονομάζεται διαφοροποίησή της.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα για τον τρόπο εύρεσης της παραγόμενης συνάρτησης:
Το παράγωγο μιας σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν. το παράγωγο της συνάρτησης y = x είναι ίσο με την ενότητα.
Και πώς να βρείτε ένα παράγωγο ενός κλάσματος; Για να το κάνετε αυτό, λάβετε υπόψη το ακόλουθο υλικό:
Για οποιοδήποτε x0 <> 0, έχουμε
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Υπάρχουν διάφοροι κανόνες για την εύρεση ενός παραγώγου. Και συγκεκριμένα:
Εάν οι συναρτήσεις Α και Β διαφοροποιούνται στο σημείο x0,τότε το άθροισμά τους διαφοροποιείται στο σημείο: (A + B) '= A' + B '. Με απλά λόγια, το παράγωγο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων. Εάν η συνάρτηση διαφοροποιηθεί σε κάποιο σημείο, τότε η ανάπτυξή της ακολουθεί μηδέν όταν το όρισμα αυξάνεται στο μηδέν.
Εάν οι συναρτήσεις Α και Β διαφοροποιούνται στο σημείο x0,τότε το προϊόν τους διαφοροποιείται στο σημείο: (A * B) "= A'B + AB". (Οι τιμές των συναρτήσεων και των παραγώγων τους υπολογίζονται στο σημείο x0). Εάν η συνάρτηση A (x) διαφοροποιείται στο σημείο x0 και η C είναι σταθερή, τότε η συνάρτηση CA διαφοροποιείται σε αυτό το σημείο και (CA) «= CA». Δηλαδή, ένας τέτοιος σταθερός παράγοντας λαμβάνεται από το σύμβολο παραγώγου.
Εάν οι συναρτήσεις A και B διαφοροποιούνται στο σημείο x0 και η συνάρτηση B δεν είναι ίση με το μηδέν, τότε η αναλογία τους διαφοροποιείται επίσης στο σημείο: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
