Le premier signe d'égalité des triangles. Les deuxième et troisième signes d'égalité des triangles

Parmi un grand nombre de polygones,qui sont essentiellement une ligne brisée fermée sans intersection, un triangle est une figure avec le moins d'angles. En d'autres termes, c'est le polygone le plus simple. Mais, malgré toute sa simplicité, cette figure est pleine de mystères et de découvertes intéressantes, qui sont éclairées par une section spéciale des mathématiques - la géométrie. Cette discipline dans les écoles commence à être enseignée à partir de la septième année et le thème "Triangle" fait l'objet d'une attention particulière. Les enfants apprennent non seulement les règles sur la figure elle-même, mais les comparent également en étudiant 1, 2 et 3 signes d'égalité des triangles.

Première connaissance

Une des premières règles à connaîtreécoliers, cela ressemble à ceci: la somme des valeurs de tous les angles d'un triangle est de 180 degrés. Pour le confirmer, il suffit d'utiliser un rapporteur pour mesurer chacun des sommets et additionner toutes les valeurs résultantes. Sur cette base, avec deux valeurs connues, il est facile de déterminer la troisième. Par exemple: Dans un triangle, l'un des angles est de 70 ° et l'autre de 85 °, quelle est la taille du troisième angle?

180 - 85 - 70 = 25.

Réponse: 25 °.

Les tâches peuvent être encore plus compliquées si une seule valeur de l'angle est indiquée, et la deuxième valeur n'est indiquée que par combien ou combien de fois elle est plus ou moins.

Dans le triangle, pour déterminer ses caractéristiques particulières, des lignes spéciales peuvent être tracées, chacune ayant son propre nom:

• hauteur - une ligne droite perpendiculaire tracée du haut vers le côté opposé;
• les trois hauteurs maintenues simultanément au centre de la figure se croisent, formant un orthocentre qui, selon le type de triangle, peut être situé à l'intérieur et à l'extérieur;
• médiane - une ligne reliant le haut au milieu du côté opposé;
• l'intersection des médianes est le point de sa gravité, situé à l'intérieur de la figure;
• bissectrice - une ligne allant du haut au point d'intersection avec le côté opposé, le point d'intersection des trois bissectrices est le centre du cercle inscrit.

Vérités simples sur les triangles

Les triangles, comme, en fait, toutes les figures, ont leurs propres caractéristiques et propriétés. Comme déjà mentionné, cette figure est le polygone le plus simple, mais avec ses propres caractéristiques:

• contre le côté le plus long est toujours un angle avec une valeur plus grande, et vice versa;
• des angles égaux se trouvent contre des côtés égaux, un exemple est un triangle isocèle;
• la somme des angles internes est toujours égale à 180 °, ce qui a déjà été démontré par l'exemple;
• lors de l'extension d'un côté du triangle au-delà de ses limites, un angle externe se forme, qui sera toujours égal à la somme des angles qui ne lui sont pas adjacents;
• chaque côté est toujours inférieur à la somme des deux autres partis, mais supérieur à leur différence.

Types de triangles

La prochaine étape de la datation consiste à déterminer le groupe auquel appartient le triangle représenté. L'appartenance à une espèce particulière dépend des valeurs des angles du triangle.

• Isocèle - avec deux côtés égaux,qui sont appelés latéraux, le troisième dans ce cas sert de base à la figure. Les angles à la base d'un tel triangle sont les mêmes, et la médiane tirée du haut est la bissectrice et la hauteur.
• Un triangle régulier ou équilatéral est celui dans lequel tous ses côtés sont égaux.
• Rectangulaire: l'un de ses angles est de 90 °. Dans ce cas, le côté opposé à ce coin est appelé hypoténuse et les deux autres sont appelés jambes.
• Un triangle à angle aigu - tous les angles sont inférieurs à 90 °.
• Obtus - l'un des angles est supérieur à 90 °.

Égalité et ressemblance des triangles

Dans le processus d'apprentissage, ne considérez pas seulementune seule figure, mais aussi comparer deux triangles. Et ce sujet apparemment simple a beaucoup de règles et de théorèmes sur lesquels il peut être prouvé que les chiffres en question sont des triangles égaux. Les signes d'égalité des triangles ont la définition suivante: les triangles sont égaux si leurs côtés et angles respectifs sont les mêmes. Avec une telle égalité, si ces deux figures se superposent, toutes leurs lignes convergeront. En outre, les chiffres peuvent être similaires, en particulier, cela s'applique à des chiffres presque identiques, ne différant que par leur taille. Afin de tirer une telle conclusion au sujet des triangles présentés, l'une des conditions suivantes doit être remplie:

• deux coins d'une figure sont égaux à deux coins d'une autre;
• deux côtés d'un sont proportionnels aux deux côtés du deuxième triangle, et les angles formés par les côtés sont égaux;
• les trois côtés de la deuxième figure sont les mêmes que la première.

Bien sûr, pour une égalité incontestable, qui n'est pascausera le moindre doute, il est nécessaire d'avoir les mêmes valeurs pour tous les éléments des deux figures, cependant, en utilisant les théorèmes, la tâche est grandement simplifiée, et seules quelques conditions sont autorisées pour prouver l'égalité des triangles.

Le premier signe d'égalité des triangles

Les tâches sur ce sujet sont résolues sur la base depreuve du théorème, qui se lit comme suit: "Si les deux côtés du triangle et l'angle qu'ils forment sont égaux à deux côtés et au coin d'un autre triangle, alors les chiffres sont également égaux."

Comment fonctionne la preuve du théorème sur le premier sonsigne d'égalité des triangles? Tout le monde sait que deux segments sont égaux s'ils sont de même longueur, ou que les cercles sont égaux s'ils ont le même rayon. Et dans le cas des triangles, il existe plusieurs signes, ayant, on peut supposer que les figures sont identiques, ce qui est très pratique à utiliser pour résoudre différents problèmes géométriques.

Comment fonctionne le théorème «Le premier signe de l'égalité des triangles», décrit ci-dessus, mais sa preuve:

• Supposons que les triangles ABC et A₁Dans le₁Avec₁ ont les mêmes côtés AB et A₁Dans le₁ et, respectivement, BC et B₁Avec₁, et les angles formés par ces côtés ont la même valeur, c'est-à-dire qu'ils sont égaux. Puis en superposant △ ABC sur △ A₁Dans le₁Avec_1, nous obtenons la coïncidence de toutes les lignes et sommets. Il s'ensuit que ces triangles sont absolument identiques, ce qui signifie qu'ils sont égaux entre eux.

Le théorème «Le premier signe de l'égalité des triangles» est aussi appelé «Sur deux côtés et un coin». En fait, c'est son essence.

Le deuxième théorème de critère

Le deuxième signe d'égalité est prouvé de la même manière,la preuve est basée sur le fait que lorsque les figures se superposent, elles coïncident complètement sur tous les sommets et côtés. Et le théorème ressemble à ceci: "Si un côté et deux angles dans la formation desquels il participe correspondent au côté et aux deux coins du deuxième triangle, alors ces chiffres sont identiques, c'est-à-dire égaux."

Troisième signe et preuve

Si les deux 2 et 1 sont des signes d'égalitédes triangles ont touché les deux côtés et les coins de la figure, alors le 3ème se réfère uniquement aux côtés. Ainsi, le théorème a la formulation suivante: "Si tous les côtés d'un triangle sont égaux à trois côtés du deuxième triangle, alors les chiffres sont identiques."

Pour prouver ce théorème, nous avons besoin de plus de détailsapprofondir la définition même de l'égalité. En fait, que signifie l'expression «les triangles sont égaux»? L'identité suggère que si vous superposez une figure sur une autre, tous leurs éléments coïncideront, ce ne peut être que si leurs côtés et angles sont égaux. En même temps, l'angle opposé à l'un des côtés, qui est le même que celui de l'autre triangle, sera égal au sommet correspondant de la deuxième figure. Il est à noter qu'à cet endroit la preuve peut facilement être traduite en 1 signe d'égalité de triangles. Si une telle séquence n'est pas observée, l'égalité des triangles est tout simplement impossible, sauf dans les cas où la figure est une image miroir du premier.

Triangles droits

Dans la structure de ces triangles, il y a toujours des sommets avec un angle de 90 °. Par conséquent, les déclarations suivantes sont vraies:

• les triangles à angle droit sont égaux si les jambes de l'un sont identiques aux jambes de la seconde;
• les chiffres sont égaux si leurs hypoténuses et l'une des pattes sont égales;
• ces triangles sont égaux si leurs jambes et leur angle aigu sont identiques.

Cet attribut s'applique aux rectangulairesaux triangles. Pour prouver le théorème, nous appliquons l'application des figures les unes aux autres, à la suite de quoi les triangles sont pliés avec des jambes, de sorte qu'un coin incliné à deux côtés avec les côtés CA et CA₁.

Application pratique

Dans la plupart des cas, il est appliqué dans la pratique.le premier signe d'égalité des triangles. En fait, ce sujet apparemment simple de la classe 7 en géométrie et planimétrie est également utilisé pour calculer la longueur, par exemple, d'un câble téléphonique sans mesurer le terrain sur lequel il passera. En utilisant ce théorème, il est facile de faire les calculs nécessaires pour déterminer la longueur d'une île au milieu d'une rivière sans la traverser. Soit vous renforcez la clôture en plaçant la barre dans la travée afin qu'elle la divise en deux triangles égaux, soit en calculant les éléments complexes du travail dans la menuiserie, soit lors du calcul du système de fermes de toit pendant la construction.

Le premier signe d'égalité des triangles est largement utilisé dans la vraie vie «adulte». Bien que pendant les années scolaires, pour beaucoup, ce sujet semble ennuyeux et complètement inutile.