Problemi koji vode konceptu "dvostrukog integrala".
- Neka avionski materijalploča, u kojoj je svaka gustoća poznata. Moramo pronaći masu ove ploče. Budući da ova ploča ima jasne dimenzije, može se zatvoriti u pravokutnik. Gustoća ploče također se može shvatiti na sljedeći način: na onim točkama pravokutnika koje ne pripadaju ploči, pretpostavit ćemo da je gustoća jednaka nuli. Postavimo jednoliku pregradu na isti broj čestica. Tako će se zadani oblik podijeliti na elementarne pravokutnike. Razmotrimo jedan od ovih pravokutnika. Odaberite bilo koju točku ovog pravokutnika. Zbog male veličine takvog pravokutnika, pretpostavit ćemo da je gustoća u svakoj točki ovog pravokutnika konstantna. Tada će se masa takve pravokutne čestice odrediti kao umnožavanje gustoće u ovoj točki površinom pravokutnika. Područje je, kao što znate, množenje duljine pravokutnika njegovom širinom. A na koordinatnoj ravnini to je promjena s određenim korakom. Tada će masa cijele ploče biti zbroj masa takvih pravokutnika. Ako idete do granice u ovom omjeru, tada možete dobiti točan omjer.
- Definirajmo prostorno tijelo, koje je ograničenoishodište i neka funkcija. Morate pronaći volumen navedenog tijela. Kao i u prethodnom slučaju, područje ćemo podijeliti na pravokutnike. Pretpostavit ćemo da će u točkama koje ne pripadaju regiji funkcija biti jednaka 0. Razmotrimo jednu od pravokutnih particija. Kroz stranice ovog pravokutnika nacrtajte ravnine koje su okomite na apscisu i ordinatnu os. Dobivamo paralelepiped koji je odozdo ograničen ravninom u odnosu na primijenjenu os, a odozgo funkcijom koja je navedena u iskazu problema. Odaberite točku u sredini pravokutnika. Zbog male veličine ovog pravokutnika možemo pretpostaviti da funkcija unutar ovog pravokutnika ima konstantnu vrijednost, tada se može izračunati volumen pravokutnika. A obujam slike bit će jednak zbrojevima svih volumena takvih pravokutnika. Da biste dobili točnu vrijednost, morate ići do granice.
Kao što se vidi iz zadataka, u svakom primjeru dolazimo do zaključka da različiti zadaci dovode do razmatranja dvostrukih zbrojeva iste vrste.
Dvostruka integralna svojstva.
Postavimo zadatak.Neka je funkcija dviju varijabli data u nekoj zatvorenoj domeni, a zadana funkcija je kontinuirana. Budući da je područje ograničeno, možete ga smjestiti u bilo koji pravokutnik koji u potpunosti sadrži svojstva točke na određenom području. Podijelite pravokutnik na jednake dijelove. Nazovimo promjer particije najvećom dijagonalom nastalih pravokutnika. Odaberite sada točku u granicama jednog takvog pravokutnika. Ako u ovom trenutku pronađete vrijednost za zbrajanje zbroja, tada će se takav zvanje nazvati integralom funkcije u danom području. Pronađimo granicu takvog integralnog zbroja, pod uvjetima da promjer rascjepa slijedi do 0, a broj pravokutnika - do beskonačnosti. Ako takva granica postoji i ne ovisi o načinu dijeljenja područja na pravokutnike i o izboru točke, tada se naziva dvostrukim integralom.
Geometrijski sadržaj dvostrukog integrala: dvostruki je integral numerički jednak volumenu tijela, što je opisano u zadatku 2.
Poznavajući dvostruki integral (definiciju), možete postaviti sljedeća svojstva:
- Konstanta se može uzeti izvan integralnog predznaka.
- Integral zbroja (razlike) jednak je zbroju (razlike) integrala.
- Manja funkcija bit će ona čiji je dvostruki integral manji.
- Modul se može unijeti pod dvostrukim integralnim znakom.
