Georg Cantor (la foto è riportata più avanti nell'articolo) -Matematico tedesco che creò la teoria degli insiemi e introdusse il concetto di numeri transfiniti, infinitamente grandi, ma diversi tra loro. Ha anche definito i numeri ordinali e cardinali e ha creato la loro aritmetica.
Nato a San Pietroburgo il 03.03.1845.Suo padre era una religione protestante danese Georg-Waldemar Kantor, che era coinvolto nel commercio, anche in borsa. Sua madre, Maria Boehm, era cattolica e proveniva da una famiglia di illustri musicisti. Quando il padre di Georg si ammalò nel 1856, la famiglia si trasferì, in cerca di un clima più mite, prima a Wiesbaden e poi a Francoforte. Il talento matematico del ragazzo si è manifestato anche prima del suo 15° compleanno mentre studiava in scuole private e ginnasi a Darmstadt e Wiesbaden. Alla fine, Georg Cantor convinse suo padre della sua ferma intenzione di diventare un matematico, non un ingegnere.
Dopo un breve studio all'Università di Zurigo nel 1863, Kantor si trasferì all'Università di Berlino per studiare fisica, filosofia e matematica. Lì gli è stato insegnato:
Dopo aver trascorso un semestre presso l'Università di Göttingen in1866, l'anno successivo, Georg scrisse la sua tesi di dottorato dal titolo "In matematica, l'arte di porre domande è più preziosa che risolvere problemi", riguardante un problema che Karl Friedrich Gauss lasciò irrisolto nelle sue Disquisitiones Arithmeticae (1801). Dopo aver brevemente insegnato alla Berlin School for Girls, Kantor iniziò a lavorare all'Università di Halle, dove rimase fino alla fine della sua vita, prima come insegnante, dal 1872 come assistente professore e dal 1879 come professore.
All'inizio di una serie di 10 opere dal 1869 al 1873Georg Cantor considerò la teoria dei numeri. Il lavoro rifletteva la sua passione per la materia, i suoi studi su Gauss e l'influenza di Kronecker. Su suggerimento di Heinrich Eduard Heine, collega di Cantor a Halle, che ne riconobbe il talento matematico, si rivolse alla teoria delle serie trigonometriche, nella quale espanse il concetto di numeri reali.
A partire dal lavoro sulla funzione del complessovariabile del matematico tedesco Bernhard Riemann nel 1854, nel 1870 Cantor dimostrò che tale funzione può essere rappresentata in un solo modo: serie trigonometriche. La considerazione di un insieme di numeri (punti) che non contraddicesse tale visione lo portò, dapprima, nel 1872 alla definizione dei numeri irrazionali in termini di successioni convergenti di numeri razionali (frazioni di interi) e poi all'inizio del lavoro su il lavoro di tutta la sua vita, la teoria degli insiemi e il concetto di numeri transfiniti.
Georg Cantor, la cui teoria degli insiemi è natain corrispondenza con il matematico dell'Istituto tecnico di Braunschweig, Richard Dedekind, ne fu amico fin dall'infanzia. Sono giunti alla conclusione che gli insiemi, finiti o infiniti, sono un insieme di elementi (ad esempio numeri, {0, ± 1, ± 2...}) che hanno una certa proprietà, pur mantenendo la loro individualità. Ma quando Georg Cantor ha applicato una corrispondenza biunivoca per studiarne le caratteristiche (ad esempio, {A, B, C} a {1, 2, 3}), si è subito reso conto che differiscono nel grado di appartenenza, anche se fossero insiemi infiniti, cioè insiemi, una parte o un sottoinsieme dei quali include tanti oggetti quanti ne contiene. Il suo metodo diede presto risultati sorprendenti.
Nel 1873 Georg Cantor (matematico) dimostrò chei numeri razionali, sebbene infiniti, sono numerabili, perché possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (cioè 1, 2, 3, ecc.). Dimostrò che l'insieme dei numeri reali, costituito da irrazionale e razionale, è infinito e non numerabile. Più paradossalmente, Cantor dimostrò che l'insieme di tutti i numeri algebrici contiene tanti elementi quanti sono gli interi, e che i numeri trascendenti non algebrici, che sono un sottoinsieme dei numeri irrazionali, non sono numerabili e, quindi, il loro numero è maggiore di interi. , e dovrebbe essere considerato come infinito.
Ma il lavoro di Cantor, in cui ha proposto per la prima voltaquesti risultati non sono stati pubblicati sulla rivista Krell, poiché uno dei revisori, Kronecker, si è opposto con veemenza. Ma dopo l'intervento di Dedekind, fu pubblicato nel 1874 con il titolo "Sulle proprietà caratteristiche di tutti i numeri algebrici reali".
Nello stesso anno, durante il mielemesi con sua moglie Wally Gutmann a Interlaken, in Svizzera, Kantor incontrò Dedekind, che parlò favorevolmente della sua nuova teoria. Lo stipendio di George era esiguo, ma con i soldi del padre, morto nel 1863, costruì una casa per la moglie ei cinque figli. Molti dei suoi lavori sono stati pubblicati in Svezia sulla nuova rivista Acta Mathematica, edita e fondata da Gesta Mittag-Leffler, che fu tra i primi a riconoscere il talento del matematico tedesco.
La teoria di Cantor è diventata un argomento completamente nuovostudi riguardanti la matematica dell'infinito (ad esempio, serie 1, 2, 3, ecc., e insiemi più complessi), che dipendevano in larga misura dalla corrispondenza biunivoca. Lo sviluppo di Cantor di nuovi metodi per porre questioni riguardanti la continuità e l'infinito ha conferito alla sua ricerca un carattere ambiguo.
Quando sosteneva che i numeri infiniti sono realiesistono, si rivolse alla filosofia antica e medievale in relazione all'infinito attuale e potenziale, nonché alla prima educazione religiosa che gli impartirono i suoi genitori. Nel 1883, nel suo libro Fundamentals of General Set Theory, Cantor combinò il suo concetto con la metafisica di Platone.
Kronecker, invece, che sosteneva che "esistono"solo numeri interi ("Dio ha creato i numeri interi, il resto è opera dell'uomo"), per molti anni ha respinto con fervore il suo ragionamento e ha impedito la sua nomina all'Università di Berlino.
Nel 1895-97.Georg Cantor formò pienamente il suo concetto di continuità e infinito, inclusi i numeri ordinali e cardinali infiniti, nella sua opera più famosa, pubblicata con il titolo "Contributo alla creazione della teoria dei numeri transfiniti" (1915). Questo saggio contiene il suo concetto, al quale è stato condotto dalla dimostrazione che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con uno dei suoi sottoinsiemi.
Sotto il più piccolo numero cardinale transfinitointendeva la cardinalità di ogni insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Cantor l'ha chiamato aleph-zero. Grandi insiemi transfiniti sono indicati aleph-uno, aleph-due, ecc. Quindi sviluppò l'aritmetica dei numeri transfiniti, che era analoga all'aritmetica finita. Così, ha arricchito il concetto di infinito.
L'opposizione che ha affrontato e il tempoche ci sia voluto perché le sue idee fossero pienamente accettate è dovuto alla difficoltà di rivalutare l'antica questione di cosa sia un numero. Cantor dimostrò che un insieme di punti su una linea ha un potere maggiore di aleph-zero. Ciò ha portato al noto problema dell'ipotesi del continuo: non ci sono cardinali tra l'aleph zero e la cardinalità dei punti sulla retta. Questo problema ha suscitato grande interesse nella prima e nella seconda metà del XX secolo ed è stato studiato da molti matematici, tra cui Kurt Gödel e Paul Cohen.
Biografia di Georg Cantor dal 1884è stato oscurato dall'inizio della sua malattia mentale, ma ha continuato a lavorare attivamente. Nel 1897 contribuì a tenere il primo congresso internazionale di matematica a Zurigo. In parte perché era osteggiato da Kronecker, spesso simpatizzava con giovani aspiranti matematici e cercava di trovare un modo per liberarli dall'oppressione degli insegnanti che si sentivano minacciati da nuove idee.
All'inizio del secolo, il suo lavoro era completamentericonosciuto come base per la teoria delle funzioni, dell'analisi e della topologia. Inoltre, i libri di Cantor Georg servirono da impulso per l'ulteriore sviluppo delle scuole intuizionistiche e formaliste dei fondamenti logici della matematica. Questo ha cambiato significativamente il sistema di insegnamento ed è spesso associato alla "nuova matematica".
Nel 1911 G.Kantor è stato tra gli invitati a celebrare il 500° anniversario dell'Università di St Andrews in Scozia. Si recò lì sperando di incontrare Bertrand Russell, che, nella sua opera recentemente pubblicata Principia Mathematica, fece ripetuti riferimenti al matematico tedesco, ma ciò non avvenne. L'università ha conferito a Kantor una laurea honoris causa, ma a causa di una malattia non ha potuto accettare il premio di persona.
Kantor si ritirò nel 1913., visse in povertà e morì di fame durante la prima guerra mondiale. Le celebrazioni per il suo 70° compleanno nel 1915 furono annullate a causa della guerra, ma a casa sua ebbe luogo una piccola cerimonia. Morì il 06.01.1918 ad Halle, in un ospedale psichiatrico, dove trascorse gli ultimi anni della sua vita.
9 agosto 1874Il matematico tedesco sposò Wally Gutmann. La coppia aveva 4 figli e 2 figlie. L'ultimo figlio nacque nel 1886 in una nuova casa acquistata da Kantor. L'eredità di suo padre lo ha aiutato a mantenere la famiglia. Le condizioni di salute di Kantor sono state fortemente colpite dalla morte del figlio più giovane nel 1899 - da allora non ha lasciato la depressione.
