פונקציה רציפה היא פונקציהללא "קפיצות", כלומר אחת מהן מתמלאת התנאי: שינויים קטנים בארגומנט מלווים בשינויים קטנים בערכים המתאימים של הפונקציה. התרשים של פונקציה זו הוא עקומה חלקה או מתמשכת.
Непрерывность в точке, предельной для некоторого קבוצות ניתן להגדיר באמצעות מושג הגבול, כלומר: הפונקציה חייבת להיות גבול בשלב זה, אשר שווה לערכו בנקודת הגבול.
אם תנאים אלה מופרים בשלב מסוים,הם אומרים כי הפונקציה בנקודה זו סובלת מהפסקה, כלומר הרצף שלה מופר. בשפת הגבולות ניתן לתאר את נקודת האי-רציפות כחוסר ההתאמה של ערך הפונקציה בנקודה הלא-רציפה עם גבול הפונקציה (אם היא קיימת).
נקודת השבירה עשויה להיות נשלפת לשם כךיש צורך במגבלת פונקציות, אך לא בקנה אחד עם ערכו בנקודה נתונה. במקרה זה, ניתן "לתקן" אותה בנקודה זו, כלומר להגדיר אותה נוספת להמשכיות.
תמונה אחרת לחלוטין מתפתחת אם גבול הפונקציה בנקודה נתונה לא קיים. ישנן שתי נקודות הפסקה אפשריות:
מאפיינים של פונקציות רצופות
נציין כמה מהפונקציות האלמנטריות הרצופות (בתחום ההגדרה שלהן):
בין שני מושגי היסוד במתמטיקה - המשכיות ודיפרנציאליות - יש קשר בלתי ניתן להרחבה. מספיק לזכור שלדיפרנציאליות של פונקציה יש צורך שזו תהיה פונקציה רציפה.
אם הפונקציה ניתנת להבחנה בשלב מסוים, אז היא מתמשכת. עם זאת, אין הכרח שהנגזרת שלה תהיה רציפה.
פונקציה שיש על סט כלשהונגזרת רציפה, שייכת למחלקה נפרדת של פונקציות חלקות. במילים אחרות, מדובר בפונקציה המבדילה ברציפות. אם לנגזרת יש מספר מוגבל של נקודות אי-רציפות (רק מהסוג הראשון), פונקציה דומה נקראת חלק בצורה חלקית.
מושג חשוב נוסף של ניתוח מתמטיהיא המשכיות אחידה של הפונקציה, כלומר היכולת שלה להיות רציפה באותה מידה בכל נקודה בתחום ההגדרה שלה. לפיכך, מדובר בנכס הנחשב על סט של נקודות, ולא באף אחד מסוים.
אם אתה מתקן נקודה, זה לא מהאחרת, כהגדרת המשכיות, כלומר מהנוכחות של המשכיות אחידה יוצא שיש לנו פונקציה רציפה. באופן כללי, השיחה אינה נכונה. עם זאת, על פי משפטו של קנטור, אם פונקציה רציפה בערכה קומפקטית, כלומר על מרווח סגור, אז היא ממשיכה בצורה אחידה.
