מתמטיקה היא אחד מאותם מדעים שבלעדיהםקיומה של האנושות הוא בלתי אפשרי. כמעט כל פעולה, כל תהליך קשור לשימוש במתמטיקה ופעולות היסוד שלה. מדענים גדולים רבים עשו מאמצים רבים על מנת להפוך את המדע הזה לקל ומובן יותר. משפטים, אקסיומות ונוסחאות שונות מאפשרות לתלמידים לתפוס במהירות מידע וליישם ידע בפועל. עם זאת, רובם זכורים לאורך החיים.
הנוסחאות הנוחות ביותר המאפשרות לתלמידיםותלמידי בתי ספר להתמודדות עם דוגמאות ענקיות, שברים, ביטויים רציונאליים ולא הגיוניים, הם נוסחאות, כולל כפל מקוצר:
1. סכומים והבדלים של קוביות:
עם3 - t3 - הבדל;
ל3 + l3 - סכום.
2. הנוסחה של הקוביה של הסכום, כמו גם קוביית ההבדל:
(f + g)3 ו- (ח - ד)3;
הבדל מרובע:
s2 - ב2;
4. כמות בריבוע:
(n + m)2 וכן הלאה
הנוסחה לסכום הקוביות היא כמעט הקשה ביותר לזכור ולשחק. הסיבה לכך היא הסימנים המתחלפים בפענוחו. הם מאויתים בצורה לא נכונה, מבולבלים עם נוסחאות אחרות.
סכום הקוביות נחשף באופן הבא:
ל3 + l3 = (k + l) * (k2 - k * l + l2).
החלק השני של המשוואה מתבלבל לפעמים עםעל ידי משוואה ריבועית או ביטוי פתוח של ריבוע הסכום והוסיפו למונח השני, כלומר ל- "k * l" את המספר 2. עם זאת, הנוסחה לסכום הקוביות מתגלה רק בדרך זו. בואו להוכיח שצד ימין ושמאל הם שווים.
בוא נלך מההפך, כלומר ננסה להראות שהמחצית השנייה (k + l) * (k2 - k * l + l2) יהיה שווה לביטוי k3 + l3.
בואו נרחיב את הסוגריים על ידי הכפלת המונחים. לשם כך, ראשית נכפיל את "k" בכל מונח של הביטוי השני:
k * (k2 - k * l + k2) = k * l2 - k * (k * l) + k * (l2);
ואז, באותו אופן, אנו מבצעים פעולה עם "l" הלא ידוע:
l * (k2 - k * l + k2) = l * k2 - l * (k * l) + l * (l2);
אנו מפשטים את הביטוי המתקבל של הנוסחה לסכום הקוביות, פותחים את הסוגריים ובמקביל נותנים מונחים דומים:
(ק3 - ק2* l + k * l2) + (l * k2 אני2* k + l3) = k3 - ק2l + kl2 + lk2 lk2 + l3 = k3 - ק2l + k2l + kl2- kl2 + l3 = k3 + l3.
ביטוי זה שווה לגרסה המקורית של הנוסחה, סכום הקוביות, ונדרש להציג זאת.
בואו נמצא הוכחה לביטוי s3 - t3... נוסחה מתמטית זו לריבוי מקוצר נקראת הפרש קוביות. זה מתגלה כדלקמן:
עם3 - t3 = (s - t) * (s2 + t * s + t2).
באותו אופן כמו בדוגמה הקודמת, אנו מוכיחים את ההתכתבות של צד ימין ושמאל. לשם כך, אנו פותחים את הסוגריים על ידי הכפלת המונחים:
עבור "s" לא ידוע:
s * (s2 + s * t + t2) = (s3 + s2t + st2);
לא ידוע "t":
t * (s2 + s * t + t2) = (s2t + st2 + t3);
בעת המרה והרחבה של סוגריים של הבדל זה, מתברר:
עם3 + s2t + st2 - ש2t - s2t - t3 = s3 + s2t– s2t - st2רחוב +2- t3= s3 - t3 - שנדרש להוכיח.
על מנת לזכור אילו שלטים שמיםכאשר חושפים ביטוי כזה, יש לשים לב לסימנים שבין התנאים. לכן, אם אחד לא ידוע מופרד מאחר על ידי הסמל המתמטי "-", הסוגריים הראשונים יכילו מינוס, והשני - שני פלוסים. אם יש סימן "+" בין הקוביות, בהתאם לכך, הגורם הראשון יכיל פלוס, והשני - מינוס, ואז פלוס.
ניתן לייצג זאת כתרשים קטן:
עם3 - t3 → ("מינוס") * ("פלוס" "פלוס");
ל3 + l3 → ("פלוס") * ("מינוס" "פלוס").
הבה נבחן דוגמה:
הביטוי ניתן (w - 2)3 + 8. יש צורך לפתוח את הסוגריים.
פתרון:
(w - 2)3 + 8 ניתן לייצג כ- (w - 2)3 + 23
בהתאם לכך, כסכום של קוביות, ניתן להרחיב ביטוי זה על פי נוסחת הכפל המקוצר:
(w - 2 + 2) * ((w - 2)2 - 2 * (w - 2) + 22);
ואז אנו מפשטים את הביטוי:
w * (w2 - 4w + 4 - 2w + 4 + 4) = w * (w2 - 6w + 12) = w3 - 6w2 + 12w.
יתר על כן, החלק הראשון (w - 2)3 ניתן לראות גם כקוביית ההבדל:
(ח - ד)3 = h3 - 3 * שעות2* d + 3 * h * d2 - ד3.
ואז, אם אתה פותח אותו באמצעות נוסחה זו, תקבל:
(w - 2)3 = w3 - 3 * w2 * 2 + 3 * w * 22 - 23 = w3 - 6 * w2 + 12w - 8.
אם נוסיף אליו את החלק השני של הדוגמה המקורית, כלומר "+8", התוצאה תהיה כדלקמן:
(w - 2)3 + 8 = w3 - 3 * w2 * 2 + 3 * w * 22 - 23 + 8 = w3 - 6 * w2 + 12w.
לפיכך, מצאנו פתרון לדוגמא זו בשתי דרכים.
יש לזכור כי התמדה ותשומת לב הם המפתח להצלחה בכל עסק, כולל פתרון דוגמאות מתמטיות.
