Vienkāršākā trigonometrijas funkcija y = Sin (x),katrā no tās punktiem tas ir atšķirams no visa definīcijas domēna. Ir jāpierāda, ka jebkura argumenta sinusa atvasinājums ir vienāds ar tāda paša leņķa kosinusu, tas ir, '= Kos (x).
Pierādījums ir balstīts uz atvasinātās funkcijas definīciju
Mēs definējam x (patvaļīgi) noteikta punkta x nelielā apkārtnē Δx0. Mēs parādām funkcijas vērtību tajā un punktā x, lai atrastu dotās funkcijas pieaugumu. Ja Δx ir argumenta pieaugums, tad jaunais arguments ir x0+ Δx = x, šīs funkcijas vērtība dotajai argumenta y (x) vērtībai ir Sin (x0+ Δx), funkcijas vērtība noteiktā punktā y (x0) ir arī zināms.
Tagad mums ir Δy = Sin (x0+ Δx) -Sin (x0) Ir iegūtais funkcijas pieaugums.
Izmantojot sinusa formulu, divu nevienlīdzīgo leņķu summa pārveidos starpību Δу.
Δy = Sin (x0) Cos (Δx) + Cos (x0) Sin (Δx) mīnus Sin (x0) = (Kos (Δx) -1) Sin (x0) + Cos (x0) · Grēks (Δх).
Mēs veica terminu permutāciju, pirmo sagrupējot ar trešo Sin (x0), no iekavām iznesa kopējo koeficientu - sinusu.Izteiksmē saņēma starpību Cos (Δx) -1. Atliek mainīt zīmi iekavās un iekavās. Zinot, kas ir 1-Cos (Δx), veiciet aizstāšanu un iegūstiet vienkāršotu izteiksmi Δy, ko pēc tam dalīsim ar Δx.
Δу / Δх būs forma: Cos (x0) Sin (Δx) / Δx-2 Sin2(0,5 · Δх) · grēks (х0) / Δx. Šī ir funkcijas pieauguma attiecība pret pieļaujamo argumenta pieaugumu.
Atliek atrast relācijas limita robežu, ko ieguvām Δx, tiecoties uz nulli.
Ir zināms, ka Sin (Δx) / Δx robeža šajā gadījumā ir 1. Un izteiciens 2 · Grēks2(0,5 · Δх) / Δх iegūtajā koeficientāpārveidojumi par izstrādājumu, kura koeficients ir pirmais ievērojamais ierobežojums: dalītāju un frakcijas negatīvu dalām ar 2, aizvietojam sinusa kvadrātu ar izstrādājumu. Piemēram:
(Grēks (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Šīs izteiksmes robeža Δx, kas sliecas uz nulli, būs vienāda ar nulli (1 reizes 0). Izrādās, ka attiecības Δy / Δх robeža ir Cos (x0) · 1-0, tas ir Koss (x0), izteiksme, kas nav atkarīga no Δx, tiecoties uz 0. Līdz ar to sekojošs secinājums: jebkura leņķa x sinusa atvasinājums ir vienāds ar x kosinusu, mēs to uzrakstām šādi: y ’= Kos (x).
Iegūtā formula tiek ievadīta labi zināmajā atvasinājumu tabulā, kur tiek apkopotas visas elementārās funkcijas
Risinot problēmas, kur rodas atvasinājumsSinus, jūs varat izmantot diferencēšanas noteikumus un gatavas formulas no tabulas. Piemēram: atrodiet vienkāršākās funkcijas atvasinājumu y = 3 · Sin (x) -15. Mēs izmantojam diferencēšanas elementāros noteikumus, skaitliskā koeficienta noņemšanu ar atvasinājuma zīmi un konstanta skaitļa atvasinājuma aprēķināšanu (tas ir vienāds ar nulli). Mēs izmantojam leņķa x sinusa atvasinājuma tabulas vērtību, kas vienāda ar Cos (x). Mēs iegūstam atbildi: y "= 3 · Cos (x) -O. Šis atvasinājums, savukārt, ir arī elementārā funkcija y = 3 · Cos (x).
Sinusa atvasinājums ir kvadrāts no jebkura argumenta
Novērtējot šo izteicienu (Sin2(x)) ”ir jāatgādina, kā atšķir sarežģīta funkcija. Tātad y = grēks2(x) - ir jaudas funkcija, jo sinuss ir kvadrātā. Tās arguments ir arī trigonometriskā funkcija, grūts arguments.Rezultāts šajā gadījumā ir vienāds ar reizinājumu, kura pirmais koeficients ir dotā sarežģītā argumenta kvadrāta atvasinājums, bet otrais ir sinusa atvasinājums. Lūk, kā izskatās noteikums, kas atšķir funkciju no funkcijas: (u (v (x))) "ir vienāds (u (v (x)))" · (v (x)). "Izteiciens v (x) ir sarežģīts arguments (iekšējā funkcija). Ja tiek dota funkcija "spēle ir vienāda ar sinusa kvadrātu x", tad šīs sarežģītās funkcijas atvasinājums būs "= 2 · Sin (x) · Cos (x). Produktā pirmais divkāršais faktors ir zināmās jaudas funkcijas atvasinājums, un Kos (x) ir sinusa atvasinājums, kas ir sarežģītas kvadrātiskās funkcijas arguments. Galīgo rezultātu var pārveidot, izmantojot dubultā leņķa trigonometrisko sinusa formulu. Atbilde: atvasinājums ir vienāds ar Sin (2 · x). Šo formulu ir viegli atcerēties, to bieži izmanto kā tabulu.
