Nepārtraukta funkcija

Nepārtraukta funkcija ir funkcijabez “lēcieniem”, tas ir, viens, kam nosacījums ir izpildīts: nelielām izmaiņām argumentā seko nelielas izmaiņas atbilstošajās funkcijas vērtībās. Šīs funkcijas diagramma ir gluda vai nepārtraukta līkne.

Nepārtrauktība punktā, kas dažus ierobežokopas, var noteikt, izmantojot ierobežojuma jēdzienu, proti: funkcijai šajā brīdī jābūt robežai, kas ir vienāda ar tās vērtību robežpunktā.

Ja kādā brīdī šie nosacījumi tiek pārkāpti,Viņi saka, ka funkcija šajā brīdī cieš pārtraukumu, tas ir, tiek pārkāpta tās nepārtrauktība. Robežu valodā pārtraukuma punktu var raksturot kā funkcijas vērtības neatbilstību pārtrauktā punktā ar funkcijas robežu (ja tāda pastāv).

Šim nolūkam pārtraukuma punkts var būt noņemamsir nepieciešams funkciju ierobežojums, bet tas nesakrīt ar tā vērtību noteiktā punktā. Šajā gadījumā to var “labot” šajā brīdī, tas ir, tālāk definēt kā nepārtrauktību.
Pilnīgi atšķirīgs attēls izveidojas, ja funkcijas robeža noteiktā punktā neeksistē. Ir divi iespējamie pārtraukuma punkti:

• pirmā veida - ir gan ierobežotas, gan vienas no vienpusējām robežām, un vienas vai abu vērtību vērtība nesakrīt ar funkcijas vērtību dotajā punktā;
• otrais veids, kad nepastāv viena vai abas vienpusējās robežas vai to vērtības ir bezgalīgas.

Nepārtrauktu funkciju īpašības

• Aritmētisko operāciju rezultātā iegūtā funkcija, kā arī nepārtraukto funkciju superpozīcija to definīcijas jomā ir arī nepārtraukta.
• Ja tiek dota nepārtraukta funkcija, kas kādā brīdī ir pozitīva, tad vienmēr var atrast pietiekami mazu apkārtni, kurā tā saglabā savu zīmi.
• Līdzīgi, ja tā vērtības divos punktos A un Bir attiecīgi vienādi a un b un a atšķiras no b, tad starppunktiem tas ņems visas vērtības no intervāla (a; b). No tā var izdarīt interesantu secinājumu: ja ļaujat izstieptajai gumijai sarauties tā, lai tā nesagurotu (paliktu taisna), tad viens no tās punktiem paliks nekustīgs. Bet ģeometriski tas nozīmē, ka caur jebkuru starppunktu starp A un B ir līnija, kas šķērso funkcijas grafiku.

Mēs atzīmējam dažas no nepārtrauktajām (to definīcijas jomā) pamata funkcijām:

• nemainīgs;
• racionāls;
• trigonometriskais.

Starp diviem pamatjēdzieniemmatemātika - nepārtrauktība un atšķirīgums - pastāv nesaraujama saikne. Pietiek atcerēties, ka funkcijas atšķirībai ir nepieciešams, lai tā būtu nepārtraukta funkcija.

Ja funkcija kādā brīdī ir diferencējama, tad tur tā ir nepārtraukta. Tomēr nav nepieciešams, lai tā atvasinājums būtu nepārtraukts.

Funkcija, kurai ir kāds komplektsnepārtraukts atvasinājums, pieder atsevišķai vienmērīgu funkciju klasei. Citiem vārdiem sakot, tā ir nepārtraukti diferencējama funkcija. Ja atvasinājumam ir ierobežots pārtraukumu punktu skaits (tikai pirmā veida), tad līdzīgu funkciju sauc par daļēji gludu.

Vēl viens svarīgs matemātiskās analīzes jēdziensir funkcijas vienveidīga nepārtrauktība, tas ir, tās spēja būt vienlīdz nepārtrauktai jebkurā tās definīcijas jomā. Tādējādi šis ir īpašums, kas tiek ņemts vērā vairākos punktos, nevis vienā konkrētā.

Ja jūs labojat punktu, tas nav tas, kaspretējā gadījumā kā nepārtrauktības definīcija, tas ir, no vienmērīgas nepārtrauktības klātbūtnes izriet, ka mums ir nepārtraukta funkcija. Vispārīgi runājot, otrādi nav taisnība. Tomēr saskaņā ar Cantor teorēmu, ja funkcija ir nepārtraukta kompaktā komplektā, tas ir, slēgtā intervālā, tad tā ir vienmērīgi nepārtraukta.